Question

关于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²-1=0，有两个实数根x₁、x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若x₁、x₂满足x₁²+x₁x₂+x₂²=2，求k的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）根据关于x的一元二次方程x²+（2k+1）x+k²-1=0有两实数根是x₁和x₂，可得△≥0即可求出k的取值范围；
（2）将x₁²+x₁x₂+x₂²=2配方即可得到关于k的方程，解答即可．

解答：解：（1）∵b²-4ac=﹙2k+1﹚²-4﹙k²-1﹚≥0，
∴k≥-

5

4

；

（2）由根与系数的关系知：x₁+x₂=-﹙2k+1﹚，x₁•x₂=k²-1，
∵x₁²+x₁x₂+x₂²=2，
∴﹙x₁+x₂﹚²-x₁•x₂=2，
∴﹙2k+1﹚²-﹙k²-1﹚=2，
3k²+4k=0，
解得k₁=0，k₂=-

4

3

，
∵k≥-

5

4

，
∴k=0．

点评：本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键是掌握x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，反过来也成立，即

b

a

=-（x₁+x₂），

c

a

=x₁x₂．