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【题目】如图,在RtABC中,∠C=90°,AC=2,BC=4,ACx轴,A、B两点在反比例函数y=(x>0)的图象上,延长CAy轴于点D,AD=1.

(1)求该反比例函数的解析式;

(2)将ABC绕点B顺时针旋转得到EBF,使点C落在x轴上的点F处,点A的对应点为E,求旋转角的度数和点E的坐标.

【答案】(1) y=;(2) 旋转角为120°, E点坐标为(2+

【解析】

(1)设A(1,k),再表示出B(3,k-4),则利用反比例函数图象上点的坐标特征得到3(k-4)=k,解方程求出k即可得到该反比例函数的解析式;
(2)作BMx轴于M,ENx轴于N,如图,根据旋转的性质得BF=BC=4,EF=AC=2,BFE=BCA=90°,CBF等于旋转角,再计算出BM=CM-BC=2,则在RtBMF中,利用三角函数可求出∠MBF=60°,MF=,BM=,于是得到旋转角为120°,然后证明RtBMFRtFNE,利用相似比求出FNEN,从而可得到E点坐标.

解:(1)ACx轴,AD=1,

A(1,k),

∵∠C=90°,AC=2,BC=4,

B(3,k﹣4),

∵点By=的图象上,

3(k﹣4)=k,解得k=6,

∴该反比例函数的解析式为y=

(2)作BMx轴于M,ENx轴于N,如图,

∵△ABC绕点B顺时针旋转得到EBF,

BF=BC=4,EF=AC=2,BFE=BCA=90°,CBF等于旋转角,

BCx轴,A(1,6),

BM=CM﹣BC=6﹣4=2,

RtBMF中,∵cosMBF===

∴∠MBF=60°,MF=BM=

∴∠CBF=180°﹣MBF=120°,

∴旋转角为120°;

∵∠BFM+MBF=90°,BFM+EFN=90°,

∴∠MBF=EFN,

RtBMFRtFNE,

==,即==

FN=1,EN=

ON=OM+MF+FN=1++1=2+

E点坐标为(2+).

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