Question

【题目】如图，已知点A（﹣2，0），点B（6，0），点C在第一象限内，且△OBC为等边三角形，直线BC交y轴于点D，过点A作直线AE⊥BD于点E，交OC于点E

（1）求直线BD的解析式；（2）求线段OF的长；（3）求证：BF＝OE．

Answer 1

【答案】（1）；（2）OF= 2；（3）见解析.

【解析】

（1）在Rt△ABD中，通过解直角三角形可求出OD的长，进而可得出点D的坐标，再根据点B，D的坐标，利用待定系数法可求出直线BD的解析式；

（2）由等边三角形的性质结合三角形内角和定理，可得出∠BAE=∠CFE=30°，进而可得出∠OAF=∠OFA=30°，再利用等角对等边可得出线段OF的长；

（3）通过解含30度角的直角三角形可求出BE的长，结合BC的长可得出CE=OF=2，由OB=CO，∠BOF=∠OCE及OF=CE可证出△OBF≌△COE（SAS），再利用全等三角形的性质可得出BF=OE．

（1）∵△OBC为等边三角形，

∴∠ABC=60°．

在Rt△ABD中，tan∠ABD=，即，

∴AD=，

∴点D的坐标是（0，）．

设BD的解析式是y=kx+b（k≠0），

将B（6，0），D（0，）代入y=kx+b，得：，

解得：，

∴直线BD的解析式为．

（2）解：∵AE⊥BC，△OBC是正三角形，

∴∠BAE=∠CFE=30°，

∴∠OAF=∠OFA=30°，

∴OF=OA=2，即OF的长为2．

（3）证明：∵AB=8，∠OBC=60°，AE⊥BC，

∴BE=AB=4，

∴CE=BC-BE=6-4=2，

∴OF=CE．

在△OBF和△COE中，，

∴△OBF≌△COE（SAS），

∴BF=OE．