Question

7．如图，直线l₁的函数表达式为：y=-3x+3，且l₁与x轴交于点D，直线l₂经过点A、B，直线l₁、l₂交于点C．
（1）图中点D的坐标为（1，0）．
（2）求直线l₂的解析表达式；
（3）求△ADC的面积；
（4）在直线l₂上是否存在点P，使得△PDC的面积是△ADC面积的2倍？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）D在直线l₁y=-3x+3的图象上，计算l₁的函数表达式y=-3x+3中y=0时的x的值即可；
（2）设直线l₂的解析表达式为y=kx+b，利用待定系数法把（3，-$\frac{3}{2}$），（4，0）代入可得关于k、b的方程组，计算出k、b的值，进而可得函数解析式；
（3）联立两个函数解析式组成方程组，解方程组可求得C的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（4）由△PDC的面积是△ADC面积的2倍，可得△PDC的面积是9，再分两种情况计算：P在第一象限时，△PDA面积为$\frac{9}{2}$，当P在第三象限时，△DPA面积为$\frac{27}{2}$．

解答 解：（1）∵D在直线l₁y=-3x+3的图象上，
∴当y=0时，0=-3x+3，
解得：x=1，
∴D（1，0），
故答案为：（1，0）；

（2）设直线l₂的解析表达式为y=kx+b，
∵过（3，-$\frac{3}{2}$），（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}=3k+b}\\{0=4k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直线l₂的解析表达式为y=$\frac{3}{2}$x-6；

（3）∵$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+3}\\{y=\frac{3}{2}x-6}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴C（2，-3），
∴△ADC的面积为：$\frac{1}{2}$×AD×3=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$；

（4）存在，
∵△PDC的面积是△ADC面积的2倍，
∴△PDC的面积是9，
当P在第一象限时，△PDA面积为$\frac{9}{2}$，
∴P点纵坐标为3，
∵P在直线l₂上，
∴横坐标为6，
∴P（6，3）；
当P在第三象限时，△DPA面积为$\frac{27}{2}$，
∴P纵坐标为-9，
∵P在直线l₂上，
∴横坐标为-2，
∴P（-2，-9）；
综上：P（-2，-9）或（6，3）．

点评 此题主要考查了一次函数两图象相交问题，以及待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握两函数图象相交，交点坐标就是两函数解析式组成的方程组的解．