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【题目】在一次数学兴趣小组活动中,小明利用同弧所对的圆周角及圆心角的性质探索了一些问题,下面请你和小明一起进入探索之旅.

(1)如图1,ABC中,∠A=30°,BC=2,则ABC的外接圆的半径为

(2)如图2,在矩形ABCD中,请利用以上操作所获得的经验,在矩形ABCD内部用直尺与圆规作出一点P,点P满足;∠BPC=BEC,且PB=PC;(要求:用直尺与圆规作出点P,保留作图痕迹.)

(3)如图3,在平面直角坐标系的第一象限内有一点B,坐标为(2,m),过点BABy轴,BCx轴,垂足分别为A、C,若点P在线段AB上滑动(点P可以与点A、B重合),发现使得∠OPC=45°的位置有两个,则m的取值范围为

【答案】(1)2;(2)详见解析;(3)2≤m<1+.

【解析】

(1)连接OB、OC,只要证明OBC是等边三角形即可.

(2)如图2中,作BC的垂直平分线,交BE于点O,以O为圆心,OB为半径作圆,交垂直平分线于点P,则点P为所求.

(3)如图3中,在x轴上方作OKC,使得OKC是以OC为斜边的等腰直角三角形,作KEABE.当EK=KC=时,以K为圆心,KC为半径的圆与AB相切,此时m=BC=1+,在AB上只有一个点P满足∠OPC=OKC=45°,当BK=时,在AB上恰好有两个点P满足∠OPC=OKC=45°,此时m=BC=2,由此不难得出结论.

(1)如图1中,连接OB、OC.

∵∠BOC=2A,A=30°,

∴∠BOC=60°,

OB=OC,

∴△OBC是等边三角形,

OB=OC=BC=2;

(2)如图2中,作BC的垂直平分线,交BE于点O;

O为圆心,OB为半径作圆,交垂直平分线于点P,

则点P为所求.

(3)如图3中,在x轴上方作OKC,使得OKC是以OC为斜边的等腰直角三角形,作KEABE.

OC=2,

OK=KC=

EK=KC=时,以K为圆心,KC为半径的圆与AB相切,此时m=BC=1+,在AB上只有一个点P满足∠OPC=OKC=45°,

BK=时,在AB上恰好有两个点P满足∠OPC=OKC=45°,此时m=BC=2,

综上所述,满足条件的m的值的范围为2≤m<1+

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(1)求点O'的坐标,并判断△O'DB的形状(要说明理由)

(2)求边C'O'所在直线的解析式.

(3)延长BA到M使AM=1,在(2)中求得的直线上是否存在点P,使得ΔPOM是以线段OM为直角边的直角三角形?若存在,请直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

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(2)当t为何值时,AQPD为菱形.

(3)是否存在某一时刻t,使四边形AQPD的面积等于四边形PQCB的面积,若存在,请求出t值,若不存在,请说明理由.

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组别

平均分

中位数

方差

合格率

优秀率

甲组

乙组

1)求出成绩统计分析表中的值;

2)小英同学说:这次竞赛我得了分,在我们小组中排名属中游略上!观察上面表格判断,小英是甲、乙哪个组的学生;

3)甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组,所以他们组的成绩好于乙组,但乙组同学不同意甲组同学的说法,认为他们的成绩要好于甲组.请你给出两条支持乙组同学观点的理由.

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A. (60+x)(40+x)=3 500 B. (60+2x)(40+2x)=3 500

C. (60-x)(40-x)=3 500 D. (60-2x)(40-2x)=3 500

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