Question

已知：点A，C，E为⊙O上的点，且

CA

=

CE

．
   （1）如图1，求证：CO⊥AE；
   （2）如图2，AB为⊙O直径，CD垂直AB于D，若AE=4BD，求tan∠CAE的值．

Answer 1

考点：圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系

专题：

分析：（1）连接AC，OA，OE，延长CO交AE于D，由

CA

=

CE

，可得AC=CE，进而得到：∠CAE=∠CEA，即∠1+∠5=∠4+∠6，由同圆的半径相等可得OA=OC=OE，然后由等边对等角可得：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，进而可得∠1=∠4，从而可得∠2=∠3，然后由等腰三角形的三线合一即可证明CO⊥AE；
（2）设CO的延长线角AE于H，连接BC，由对顶角相等及三角形内角和定理可得：∠2=∠4，然后由等边对等角可得：∠3=∠5，进而可得：∠DCA=∠HAC，进而根据AAS可证Rt△CAD≌Rt△ACH，从而可得：CD=AH，然后由AH=

1

2

AE，AE=4BD，可得：CD=2BD，然后由同角的余角相等及等量代换可得：∠1=∠CAE，最后在Rt△BCD中，由tan∠1=

CD

BD

=2，可得：tan∠CAE=tan∠1=2．

解答：证明：连接AC，OA，OE，延长CO交AE于D，如图1，

∵

CA

=

CE

，
∴AC=CE，
∴∠CAE=∠CEA，
即∠1+∠5=∠4+∠6，
∵OA=OC=OE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，
∴∠1=∠4，
∴∠2=∠3，
∵AC=CE
∴CO⊥AE；
（2）设CO的延长线角AE于H，连接BC，如图2，

由（1）知，CO⊥AE，
∵CD垂直AB于D，
∴∠CDB=∠CDO=∠AHO=90°，
∵∠6=∠7，
∴∠2=∠4，
∵OA=OC，
∴∠3=∠5，
∴∠2+∠3=∠4+∠5，
即∠DCA=∠HAC，
在Rt△CAD和Rt△ACH中，
∵

∠CDO=∠AHO ∠DCA=∠HAC AC=CA

，
∴Rt△CAD≌Rt△ACH，
∴CD=AH，
∵AH=

1

2

AE，
∴CD=

1

2

AE，
∵AE=4BD，
∴CD=2BD，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠1+∠8=90°，∠4+∠5+∠8=90°，
∴∠1=∠4+∠5，
∴∠1=∠2+∠3，
即∠1=∠CAE，
在Rt△BCD中，
∵tan∠1=

CD

BD

=2，
∴tan∠CAE=tan∠1=2．

点评：此题考查了圆的有关知识，等腰三角形的性质，直角三角形的有关性质，及锐角三角函数，解题的关键是转化思想的应用．