Question

【题目】如图，CE是⊙O的直径，BC切⊙O于点C，连接OB，作ED∥OB交⊙O于点D，BD的延长线与CE的延长线交于点A．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为1，tan∠DEO=，tan∠A=，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）连接OD，由ED∥OB，得到∠1=∠4，∠2=∠3，通过△DOB≌△COB，得到∠ODB=∠OCB，而由BC切⊙O于点C得出∠OCB=90°，那么∠ODB=90°，问题得证；

（2）根据三角函数tan∠DEO=tan∠2=，得出BC=OC=，再由tan∠A=，得出AC=4BC=4，那么AE=AC﹣CE=4﹣2．

（1）连接OD，如图．

∵ED∥OB，

∴∠1=∠4，∠2=∠3，

∵OD=OE，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠2．

在△DOB与△COB中，

,

∴△DOB≌△COB，

∴∠ODB=∠OCB，

∵BC切⊙O于点C，

∴∠OCB=90°，

∴∠ODB=90°，

∴AB是⊙O的切线；

（2）∵∠DEO=∠2，

∴tan∠DEO=tan∠2=，

∵⊙O的半径为1，OC=1，

∴BC=，

tan∠A=，

∴AC=4BC=4，

∴AE=AC﹣CE=4﹣2．