Question

【题目】P是等边△ABC内部一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5：6：7，将△ABP逆时针旋转，使得AB与AC重合，则以PA、PB、PC的长为边的三角形的三个角∠PCQ：∠QPC：∠PQC= ．

Answer 1

【答案】3：4：2
【解析】解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AQC，显然有△AQC≌△APB，连PQ， ∵AQ=AP，∠QAP=60°，
∴△AQP是等边三角形，
∴PQ=AP，
∵QC=PB，
∴△QCP的三边长分别为PA，PB，PC，
∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，
∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，
∴∠PQC=∠AQC﹣∠AQP=∠APB﹣∠AQP=100°﹣60°=40°，
∠QPC=∠APC﹣∠APQ=140°﹣60°=80°，
∠PCQ=180°﹣（40°+80°）=60°，
∴∠PCQ：∠QPC：∠PQC=3：4：2，
所以答案是：3：4：2．

【考点精析】掌握等边三角形的性质和旋转的性质是解答本题的根本，需要知道等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．