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【题目】如图,A(21)B(20)Cy轴上一动点,过AC两点的抛物线为:yax2+bx+n(a≠0a≠1),直线OA与直线BC交于点P

(1)n1,且抛物线恰好也过P点,直接写出抛物线顶点坐标为:(___________)

(2)当抛物线同时经过ACP三点时,此时P必为该抛物线的顶点,请以n2为例验证上述结论的正确性.

(3)若抛物线与直线BC有唯一交点C

①求a的值;并求当C沿y轴向上运动时,其顶点同时向下运动所对应n的取值范围;

②设过B另有一直线(BCAB不重合),也与抛物线仅有一个交点,设为D,经探究发现:无论Cy轴上如何运动,直线CD一定经过一个确定不动点Q.请直接写出该不动点Q的坐标.

【答案】(1)1(2)证明见解析;(3)an≥2;②Q(22)

【解析】

1)待定系数法求直线BC解析式,直线OA解析式,解方程组求得点P坐标,待定系数法求抛物线解析式,化为顶点式即可;

2)由B20),C02)可得直线yBC=-2x+2,解方程组求得交点P坐标,代入抛物线解析式即可求得ab;配方法将抛物线解析式化为顶点式即可得顶点坐标;

3)①由y=ax2+bx+n过点A21),可得y=ax2+1-n-4ax+n,与y=x+n联立并消去y,再由抛物线与直线BC有唯一交点C,可得=1-4a=0,将a=代入抛物线解析式即可求得顶点纵坐标;进而可求得n的范围;

②由直线BDy=px-2p与抛物线只有一个交点,可得n+2p=4,进而可求得D44-n),再求得直线CD解析式为y=x+n,即可得:直线CD必定经过定点Q22).

(1)n1B(20)

C(01)

设直线BC解析式为ymx+n,则,解得

∴直线BC解析式为y-x+1

A(21)

∴直线OA解析式为yx

解方程组,得.

P(1)

∵抛物线yax2+bx+1(a≠0a≠1)经过AP点,则,解得

∴抛物线解析式为yx+1(x1)2+

∴抛物线顶点为P(1)

故答案为:1

(2)(1)知:yOAx

B(20)C(0n)可得直线yBCx+n

n2时,则,解得

P()

P()A(21)代入yax2+bx+2,得,解得

∴抛物线解析式为yx22x+2+

∴顶点坐标为(),即为P点;

(3)①由yax2+bx+n过点A(21),得4a+2b+n1,则b(1n4a)

yax2+(1n4a)x+n

联立方程组,消去y整理得ax2+(14a)x0

根据题意要抛物线与直线BC有唯一交点C,则0

14a0

a

此时,抛物线为:y=

其顶点纵坐标为:

C沿y轴向上运动时,其顶点同时向下运动,即要求上式随n的增大而减小,

n≥2

②∵直线BD解析式为ypx+q,将B(20)代入得2p+q0

q=﹣2p

∴直线BD解析式为ypx2p

联立方程组,消去y整理得x22(n+2p)x+4(n+2p)0

根据题意要抛物线与直线BD有唯一交点C,则0

4(n+2p)216(n+2p)0,即(n+2p)(n+2p4)0

n+2p≠0

n+2p4

p

∴直线BD解析式为yx+n4

D(44n)

C(0n)

∴直线CD解析式为yx+n,当x2时,y×2+n2

∴直线CD必定经过定点Q(22)

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_____

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内容

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示意图

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测量数据

的度数

的度数

的长度

测角仪的高度

50

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(参考数据:

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