【题目】如图,A(2,1),B(2,0),C为y轴上一动点,过A,C两点的抛物线为:y=ax2+bx+n(a≠0,a≠﹣1),直线OA与直线BC交于点P,
(1)若n=1,且抛物线恰好也过P点,直接写出抛物线顶点坐标为:(_____,______)
(2)当抛物线同时经过A,C,P三点时,此时P必为该抛物线的顶点,请以n=2为例验证上述结论的正确性.
(3)若抛物线与直线BC有唯一交点C,
①求a的值;并求当C沿y轴向上运动时,其顶点同时向下运动所对应n的取值范围;
②设过B另有一直线(与BC、AB不重合),也与抛物线仅有一个交点,设为D,经探究发现:无论C在y轴上如何运动,直线CD一定经过一个确定不动点Q.请直接写出该不动点Q的坐标.
【答案】(1)1,;(2)证明见解析;(3)①a=,n≥2;②Q(2,2).
【解析】
(1)待定系数法求直线BC解析式,直线OA解析式,解方程组求得点P坐标,待定系数法求抛物线解析式,化为顶点式即可;
(2)由B(2,0),C(0,2)可得直线yBC=-2x+2,解方程组求得交点P坐标,代入抛物线解析式即可求得a,b;配方法将抛物线解析式化为顶点式即可得顶点坐标;
(3)①由y=ax2+bx+n过点A(2,1),可得y=ax2+(1-n-4a)x+n,与y=x+n联立并消去y,再由抛物线与直线BC有唯一交点C,可得△=1-4a=0,将a=代入抛物线解析式即可求得顶点纵坐标;进而可求得n的范围;
②由直线BD:y=px-2p与抛物线只有一个交点,可得n+2p=4,进而可求得D(4,4-n),再求得直线CD解析式为y=x+n,即可得:直线CD必定经过定点Q(2,2).
(1)∵n=1,B(2,0),
∴C(0,1)
设直线BC解析式为y=mx+n,则,解得,
∴直线BC解析式为y=-x+1,
∵A(2,1),
∴直线OA解析式为y=x,
解方程组,得.
∴P(1,),
∵抛物线y=ax2+bx+1(a≠0,a≠﹣1)经过A,P点,则,解得
∴抛物线解析式为y=﹣x+1=(x﹣1)2+
∴抛物线顶点为P(1,),
故答案为:1,
(2)由(1)知:yOA=x,
由B(2,0),C(0,n)可得直线yBC=x+n
当n=2时,则,解得
∴P(,),
将P(,),A(2,1)代入y=ax2+bx+2,得,解得,
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x+2=+
∴顶点坐标为(,),即为P点;
(3)①由y=ax2+bx+n过点A(2,1),得4a+2b+n=1,则b=(1﹣n﹣4a),
∴y=ax2+(1﹣n﹣4a)x+n
联立方程组,消去y整理得ax2+(1﹣4a)x=0,
根据题意要抛物线与直线BC有唯一交点C,则△=0,
∴1﹣4a=0,
∴a=,
此时,抛物线为:y==
其顶点纵坐标为:,
要C沿y轴向上运动时,其顶点同时向下运动,即要求上式随n的增大而减小,
∴n≥2;
②∵直线BD解析式为y=px+q,将B(2,0)代入得2p+q=0,
∴q=﹣2p
∴直线BD解析式为y=px﹣2p
联立方程组,消去y整理得x2﹣2(n+2p)x+4(n+2p)=0,
根据题意要抛物线与直线BD有唯一交点C,则△=0,
∴4(n+2p)2﹣16(n+2p)=0,即(n+2p)(n+2p﹣4)=0
∵n+2p≠0
∴n+2p=4
即p=
∴直线BD解析式为y=x+n﹣4
∴D(4,4﹣n)
∵C(0,n)
∴直线CD解析式为y=x+n,当x=2时,y=×2+n=2
∴直线CD必定经过定点Q(2,2).
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【题目】已知:如图,在△ABC中,∠ABC=45°,,AB=14,
(1)求:△ABC的面积;
(2)若以C为圆心的圆C与直线AB相切,以A为圆心的圆A与圆C相切,试求圆A的半径.
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【题目】下面是“已知底边及底边上的高线作等腰三角形”的尺规作图过程.
已知:线段.求作:等腰,使,边上的高为.作法:如图,(1)作线段;(2)作线段的垂直平分线交于点;(3)在射线上顺次截取线段,连接.所以即为所求作的等腰三角形.
请回答:得到是等腰三角形的依据是:
①_____:
②_____.
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【题目】如图所示,该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上,于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。小刚身高1.6米,测得其影长为2.4米,同时测得EG的长为3米,HF的长为1米,测得拱高(弧GH的中点到弦GH的距离,即MN的长)为2米,求小桥所在圆的半径。
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【题目】已知在平面直角坐标系中有两点A(0,1),B(﹣1,0),动点P在反比例函数y=的图象上运动,当线段PA与线段PB之差的绝对值最大时,点P的坐标为_____.
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【题目】如图,直线y=x,点A1坐标为(1,0),过点A1作x轴的垂线交直线于点B1,以原点O为圆心,OB1长为半径画弧交x轴于点A2,再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2,以原点O为圆心,OB2长为半径画弧交x轴于点A3,……按此作法进行去,点Bn的纵坐标为 (n为正整数)。
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【题目】某班数学活动小组测量吉林市“世纪之舟”的高度.他们制定了测量方案,并利用课余时间完成了实地测景,测量项目及数据如下表:
项目 | 内容 | |||
课题 | 测量吉林市“实际之舟”的高度 | |||
示意图 | 如图,用测角仪在点处测得“世纪之舟”顶端的仰角是,前进一段距离到达点,用测角仪测得“世纪之舟”顶端的仰角是,且、、在同一直线上. | |||
测量数据 | 的度数 | 的度数 | 的长度 | 测角仪,的高度 |
50米 | 1.5米 | |||
… | … |
请你根据活动小组测得的数据,求世纪之舟的高(结果保留小数点后一位).
(参考数据:,,)
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【题目】如图,已知点A(2,3)和点B(0,2),点A在反比例函数y= 的图象上.作射线AB,再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°,交反比例函数图象于点C,则点C的坐标为________.
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【题目】某公司在抗震救灾期间承担40 000顶救灾帐篷的生产任务,分为A、B、C、D四种型号,它们的数量百分比和每天单独生产各种型号帐篷的数量如图所示:
根据以上信息,下列判断错误的是( )
A. 其中的D型帐篷占帐篷总数的10%
B. 单独生产B型帐篷的天数是单独生产C型帐篷天数的3倍
C. 单独生产A型帐篷与单独生产D型帐篷的天数相等
D. 单独生产B型帐篷的天数是单独生产A型帐篷天数的2倍
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