Question

如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6cm，BC=10cm．线段DE在边AC上，且D与A重合，若线段DE沿AC边以1cm/s的速度向C运动，当点E与C重合时运动停止．在运动过程中过点D作DF⊥BC于点F，连接EF．设DE=2cm，运动时间为ts．
（1）请写出：①cos∠FDC=

 

（-1，2）；②DF=

 

（用含t的代数式表示）．
（2）在DE运动的过程中△DEF能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
（3）设DF的中点为M，请直接写出DE在整个运动过程中点M所走过的路径长．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）①根据勾股定理求出AC的值，再根据DF⊥BC，得出∠FDC=∠B，从而得出cos∠FDC=cos∠B，即可求出cos∠FDC；
②根据已知条件得出CD的值，再根据cos∠FDC=

3

5

，得出

DF

DC

=

3

5

，求出DF的值即可；
（2）分三种情况讨论，
当FD=FE时，过点F作FM⊥AC，根据

FM

AB

=

CM

CA

求出FM=

3

4

（7-t），根据cos∠FDC=

DM

FD

=

3

5

，求出FM=

4

3

，得出

3

4

（7-t）=

4

3

，从而求出t；
当FD=DE时，先求出FD=2，再根据DC=

DF

cos∠FDC

，求出DC=

10

3

，得出8-t=

10

3

，求出t；
当EF=ED时，过点E作EN⊥DF于F，则DN=FN，再根据EN∥FC，得出DE=EC，得出2=6-t，求出；
（3）当点E与点C重合时，设点F与点G重合，点M与点N重合，过点N作NH⊥AF于H，
先求出MF，再根据cos∠GDC=

3

5

，求出DG，再根据勾股定理求出CG，根据HN=FG求出HN，再求出MH，最后根据MN=

HN2+MH2

代入计算即可．

解答：解：（1）①∵∠A=90°，AB=6cm，BC=10cm，
∴AC=8cm，
∵DF⊥BC，
∴∠FDC=∠B，
∴cos∠FDC=cos∠B=

AB

BC

=

6

10

=

3

5

；
②∵AD=tcm，
∴CD=（8-t）cm，
∵cos∠FDC=

3

5

，
∴

DF

DC

=

3

5

，
∴

DF

8-t

=

3

5

，
∴DF=

24-3t

5

；
故答案为：

3

5

，

24-3t

5

；

（2）能，理由如下：如图（1）当FD=FE时，
过点F作FM⊥AC，则

FM

AB

=

CM

CA

，DM=EM=1，
∵CD=8-t，
∴CM=8-t-1=7-t，
∴

FM

6

=

7-t

8

，
∴FM=

3

4

（7-t），
∵cos∠FDC=

DM

FD

=

3

5

，
∴DF=

5

3

DM=

5

3

，
∴FM=

DF2-DM2

=

4

3

，
∴

3

4

（7-t）=

4

3

，
∴t=

47

9

s；
如图（2）当FD=DE时，
∵DE=2，
∴FD=2，
∴DC=

DF

cos∠FDC

=

2

3 5

=

10

3

，
∴8-t=

10

3

，
∴t=

14

3

s；
如图（3）当EF=ED时，
过点E作EN⊥DF于F，则DN=FN，
∵DF⊥AC，
∴EN∥FC，
∴DE=EC，
∴2=6-t，
∴t=4s；

（3）如图（4），当点E与点C重合时，设点F与点G重合，点M与点N重合，则AF=

24

5

，CF=

32

5

，
过点N作NH⊥AF于H，
∵N是AF的中点，
∴MF=

1

2

AF=

1

2

×

24

5

=

12

5

，
∵cos∠GDC=

3

5

，
∴DG=

3

5

DC=

3

5

×2=

6

5

，
∴CG=

CD2-DG2

=

8

5

，
∴HN=FG=

32

5

-

8

5

=

24

5

，
∴NG=

3

5

，
∴FH=

3

5

，
∴MH=

12

5

-

3

5

=

9

5

，
∴MN=

HN2+MH2

=

( 24 5 )2+( 9 5 )2

=

3 73

5

（cm）．

点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的判定与性质，关键是做出辅助线，分类讨论．