Question

【题目】如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；

（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．

①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；

②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．

Answer 1

【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；(2)①点M的坐标为（2.5，0）或（，0）；②m的值为或﹣1或﹣．

【解析】试题分析：（1）把A点坐标代入直线解析式可求得c，则可求得B点坐标，由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）①由M点坐标可表示P、N的坐标，从而可表示出MA、MP、PN、PB的长，分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得m的值；

②用m可表示出M、P、N的坐标，由题意可知有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，可分别得到关于m的方程，可求得m的值．

试题解析：解：

（1）∵与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0=﹣2+c，解得c=2，∴B（0，2），∵抛物线经过点A，B，∴，解得： ，∴抛物线解析式为；

（2）①由（1）可知直线解析式为，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m， ），N（m， ），∴PM=，PA=3﹣m，PN=﹣（）=，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，分两种情况：

当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，∴点N的纵坐标为2，∴ =2，解得m=0（舍去）或m=，∴M（，0）；

当∠NBP=90°时，则有，∵A（3，0），B（0，2），P（m， ），∴BP== ，AP= =（3﹣m），∴，解得m=0（舍去）或m=，∴M（，0）；

综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（，0）或（，0）；

②由①可知M（m，0），P（m， ），N（m， ），∵M，P，N三点为“共谐点”，∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（）=，解得m=3（三点重合，舍去）或m=；

当M为线段PN的中点时，则有+（）=0，解得m=3（舍去）或m=﹣1；

当N为线段PM的中点时，则有=2（），解得m=3（舍去）或m=；

综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或．