Question

【题目】如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，E在CD上且BE平分∠DBC，O是BD中点，直线BE、DG交于H．BD，AH交于M，连接OH，下列四个结论：

① BE⊥GD； ② OH＝BG； ③ ∠AHD＝45°； ④ GD＝AM．

其中正确的结论个数有

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

①由已知条件可证得△BEC≌△DGC，∠EBC=∠CDG，因为∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°，所以∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正确；
②由①可以证明△BHD≌△BHG，就可以得到DH=GH，得出OH是△BGD的中位线，从而得出结论．
③若以BD为直径作圆，那么此圆必经过A、B、C、H、D五点，根据圆周角定理即可得到∠AHD=45°，所以②的结论也是正确的．
④此题要通过相似三角形来解；由②的五点共圆，可得∠BAH=∠BDH，而∠ABD=∠DBG=45°，由此可判定△ABM∽△DBG，根据相似三角形的比例线段即可得到AM、DG的比例关系；

解：①正确，证明如下：
∵BC=DC，CE=CG，∠BCE=∠DCG=90°，
∴△BEC≌△DGC，
∴∠EBC=∠CDG，
∵∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°，
∴∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正确；
②∵BE平分∠DBC，
∴∠DBH=∠GBH．
∵BE⊥GD，
∴∠BHD=∠BHG=90°．
在△BHD和△BHG中

，
∴△BHD≌△BHG（ASA），
∴DH=GH．
∵O是BD中点，
∴DO=BO．
∴OH是△BDG的中位线，
∴OH=BG，故②正确；
③由于∠BAD、∠BCD、∠BHD都是直角，因此A、B、C、D、H五点都在以BD为直径的圆上；
由圆周角定理知：∠DHA=∠ABD=45°，故③正确；
④由②知：A、B、C、D、H五点共圆，则∠BAH=∠BDH；
又∵∠ABD=∠DBG=45°，
∴△ABM∽△DBG，得AM：DG=AB：BD=1：，即DG=AM；
故④正确；
∴正确的个数有4个．
故选：D．