Question

3．观察下列等式$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，以上三个等式两边分别相加得：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
（1）猜想并写出：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）计算：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2006×2007}$=$\frac{2006}{2007}$；
（3）探究并计算：$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{2006×2008}$=$\frac{1003}{4016}$；
（4）若|ab-3|与|b-1|互为相反数，求：$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{{（{a+2}）（{b+2}）}}$+$\frac{1}{（a+4）（b+4）}$+$\frac{1}{（a+6）（b+6）}$…+$\frac{1}{（a+2016）（b+2016）}$的值．

Answer 1

分析 （1）类比给出的方法得出$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）利用给出的方法拆分计算即可；
（3）提取$\frac{1}{4}$，进一步利用（1）中的拆分计算得出答案即可；
（4）由非负数的性质得出a、b的数值，进一步代入计算拆分得出答案即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2006}$-$\frac{1}{2007}$
=1-$\frac{1}{2007}$
=$\frac{2006}{2007}$；
（3）原式=$\frac{1}{4}$×（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{1003}$-$\frac{1}{1004}$）
=$\frac{1}{4}$×（1-$\frac{1}{1004}$）
=$\frac{1}{4}$×$\frac{1003}{1004}$
=$\frac{1003}{4016}$；
（4）∵|ab-3|与|b-1|互为相反数，
∴|ab-3|+|b-1|=0，
解得：a=3，b=1，
∴原式=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+$\frac{1}{7×9}$+…+$\frac{1}{2007×2009}$
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{2007}$-$\frac{1}{2009}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2009}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{2008}{2009}$
=$\frac{1004}{2009}$．
故答案为：$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；$\frac{2006}{2007}$；$\frac{1003}{4016}$．

点评 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，掌握分数拆分的规律与方法解决问题．