Question

如图，P是半径为

3

cm的⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于点A，B，PA=PB=3cm，∠APB=60°，C是弧AB上一点，过C作⊙O的切线交PA，PB于点D，E．
（1）求△PDE的周长；
（2）若DE=

4 3

3

cm，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线长定理,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：（1）根据切线长定理得PA=PB=3cm，CE=BE，AD=DC，由三角形周长定义得△PDE的周长=PE+DE+PD，然后利用等线段可得△PDE的周长=PA+PB=6cm；
（2）连接OB、OA、OE，OD，如图，根据切线的性质得∠OBP=∠OPA=90°，再根据四边形内角和计算出∠BOA=120°，利用切线长定理得BE=CE，DC=DA，则根据三角形面积公式得到S_△OCE=S_△OBE，S_△OCD=S_△ODA，所以S_五边AOBED=2S_△ODE=4，然后根据扇形面积公式和图中阴影部分的面积=S_五边AOBED-S_扇形AOB进行计算．

解答：解：（1）∵PA、PB、DE是⊙O的切线，
∴PA=PB=3cm，CE=BE，AD=DC，
∴△PDE的周长=PE+DE+PD=PE+CE+CD+PD
=PE+BE+AD+PD
=PA+PB
=3cm+3cm
=6cm；
（2）连接OB、OA、OE，OD，如图，
∵PA、PB、OC是⊙O的切线，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，OC⊥DE，
∴∠OBP=∠OPA=90°，
∵∠APB=60°，
∴∠BOA=120°，
∵BE=CE，DC=DA，
∴S_△OCE=S_△OBE，S_△OCD=S_△ODA，
∴S_五边AOBED=2S_△ODE=2×

1

2

×

4 3

3

×

3

=4，
∴图中阴影部分的面积=S_五边AOBED-S_扇形AOB=4-

120•π•( 3 )2

360

=（4-π）cm²．

点评：本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．也考查了扇形面积的计算．