Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别为A（0，6）、B（6，6）．点Q在线段AB上，以Q为项点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点D，与x轴的一个交点为C．设点Q的横坐标为m，点C的横坐标为n（n＞m）．

（1）当m＝0时，求n的值．

（2）求线段AD的长（用含m的式子表示）；

（3）点P（2，0）在x轴上，设△BPD的面积为S，求S与m的关系式；

（4）当△DCQ是以QC为直角边的直角三角形时，直接写出m的值．

Answer 1

【答案】（1）n＝3；（2）AD＝；（3）S与m的关系式为；（4）当m＝或时，△DCQ是以QC为直角边的直角三角形．

【解析】

（1）先求抛物线表达式，当y＝0时，可求n的值；

（2）先求抛物线解析式，可求点D坐标，即可求AD的长；

（3）如图1，延长BP交y轴于点M，通过证明△MOP∽△MAB，可得，可得，OM＝3，AM＝9．分两种情况讨论，由面积关系可求解；

（4）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．

解：（1）当m＝0时，点Q坐标为（0，6），

∴抛物线表达式为y＝ax2+6．

根据题意可知，

∴抛物线表达式为．

当y＝0时，，

解得x＝±3．

由题意n＞m，

∴n＝3；

（2）∵点Q坐标为（m，6），

∴抛物线表达式为．

当x＝0时，．

∴点D坐标为（0，），

∵点A坐标为（0，6），

∴AD＝；

（3）如图1，延长BP交y轴于点M，

∵OP∥AB，

∴△MOP∽△MAB，

∴．

∴

∵AO＝6，

∴OM＝3，AM＝9．

当AD＜AM，即时，

S＝＝．

当AD＞AM，即时，

S＝＝．

综上，S与m的关系式为

（4）如图2，过点Q作QH⊥OC，

∵点Q坐标为（m，6），

∴抛物线表达式为．

当x＝0时，．

∴点D坐标为（0，）．

∴OD＝m2﹣6，

当y＝0时，0＝﹣（x﹣m）2+6，

∴x1＝3+m，x2＝﹣3+m，

∴点C（3+m，0）

∴OC＝3+m，CH＝3，

∵∠OCD＝90°，

∴∠OCQ+∠OCD＝90°，且∠OCQ+∠CQH＝90°，

∴∠CQH＝∠DCO，且∠QHC＝∠COD＝90°，

∴△CQH∽△DCO，

∴，

∴，

∴m1＝﹣3（不合题意舍去），m2＝，

如图3，过点Q作QH⊥OC，

同理可证△ADQ∽△HCQ，

∴

∴

∴m1＝0（不合题意舍去），m2＝，

综上所述：当m＝或时，△DCQ是以QC为直角边的直角三角形．