Question

2．如图，已知抛物线C₁经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线C₁的函数表达式．
（2）抛物线C₂与抛物线C₁关于原点成中心对称，求抛物线C₂的函数表达式．
（3）P是抛物线C₂上的第四象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足是M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法直接求出抛物线C₁的解析式；
（2）先确定出抛物线C₁的顶点坐标，利用关于原点对称得出抛物线C₂的顶点C'的坐标，再利用待定系数法即可；
（3）先确定出∠BOC=90°，再分两种情况用相似三角形得出的比例式建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线C₁经过原点O，
∴设抛物线C₁的函数表达式为y=ax²+bx，
∵抛物线C₁经过A（-2，0），B（-3，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b=0}\\{9a-3b=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线C₁的函数表达式为y=x²+2x，

（2）如图1，由（1）知，抛物线C₁的函数表达式为y=x²+2x=（x+1）²-1，
∴抛物线C₁的顶点C（-1，-1），
∴点C关于原点的对称点C'（1，1），
∵抛物线C₂与抛物线C₁关于原点成中心对称，
∴抛物线C₂的顶点坐标C'（1，1），
设抛物线C₂的函数表达式为y=a'（x-1）²+1，
∵抛物线C₁经过原点O，
∴抛物线C₂也经过原点O，
∴a'（1-0）²+1=0，
∴a'=-1，
∴抛物线C₂的函数表达式为y=-（x-1）²+1=-x²+2x；

（3）存在，
如图2，由（2）知，抛物线C₁的顶点C（-1，-1），
∵B（-3，3），O（0，0），
∴OB²=18，OC²=2，BC²=20，
∴OB²+OC²=BC²，
∴△BOC是直角三角形，
∴∠BOC=90°，
∵PM⊥x轴，垂足是M，
∴∠PMA=90°，
由（2）知，y=-x²+2x；
∵P是抛物线C₂上的第四象限内的动点，
∴P（m，-m²+2m），
∵A（-2，0），
∴M（2，0），
∴m＞2，
∵PM⊥x轴于M，
∴M（m，0），PM=-（-m²+2m）=m²-2m，
∴AM=m+2，
∵以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似，
∴①当△PMA∽△BOC时，
∴$\frac{PM}{OB}=\frac{AM}{OC}$，
∴$\frac{{m}^{2}-2m}{3\sqrt{2}}=\frac{m+2}{\sqrt{2}}$，
∴m=-1（舍）或m=6，
∴P（6，-24）；
②当△AMP∽△BOC时，
∴$\frac{AM}{OB}=\frac{PM}{OC}$，
∴$\frac{m+2}{3\sqrt{2}}=\frac{{m}^{2}-2m}{\sqrt{2}}$，
∴m=$\frac{7-\sqrt{73}}{6}$（舍）或m=$\frac{7+\sqrt{73}}{6}$，
∴P（$\frac{7+\sqrt{73}}{6}$，$\frac{\sqrt{73}-19}{6}$），
即：存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似，
点P的坐标为（6，-24）或（$\frac{7+\sqrt{73}}{6}$，$\frac{\sqrt{73}-19}{6}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线顶点坐标，点关于原点的对称点的坐标的确定，直角三角形的判断，相似三角形的性质，解（1）的关键是用待定系数法确定抛物线解析式，解（2）的关键是确定出抛物线C₂的顶点坐标，解（3）的关键是得出∠BOC是直角；利用了方程的思想和分类讨论的思想解决问题．