Question

【题目】如图1，是等边三角形内一点，，连结.

（1）求的度数

（2）如图2，以为斜边在外作等腰直角，连结

①请判断的形状，并说明理由

②若，求点到的距离

Answer 1

【答案】（1）30° （2）①见详解 ②到的距离为

【解析】

（ 1）依据题意先求出△ABD≌△ACD，得出∠BAD=∠CAD，即可求出；

（2）①求出△BCD≌△BAE(ASA)，得到△BDE为等边三角形，求出∠AED的度数，即可判断出三角形的形状.

②延长AD与BC交于F点，过E点作EG⊥AD于G，由题意求出ED的值，再通过AF是等边三角形ABC的高，求出GD的值，利用勾股定理求出EG即可.

解：（ 1）∵△ABC为等边三角形

∴AB=AC ∠BAC=60°

∵DB=DC AD为△ABD和△ACD公共边

∴ △ABD≌△ACD（SSS）

∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°

（2）①∵△BDC和△ABE都是等腰直角三角形

∴，

∵AB=AC

∴△BCD≌△BAE(ASA)

∴EB=BD

∵

∴△BDE为等边三角形

∴EB=ED=EA

∴△ADE为等腰三角形

②如图

延长AD与BC交于F点，过E点作EG⊥AD于G

∵∠BAD=∠CAD

∴AD为∠BAC的角平分线，AF时期延长线

∴AF是∠BAC的角平分线

∵△ABC是等边三角形，三线合一

∴AF⊥BC

∵AB=AC=4 ，∠BAD=30°， △BCD为等腰直角三角形

∴AF=，DF=2，BD=ED=

∴AD=-2

∵△ADE为等腰三角形，EG⊥AD

∴AG=GD=AD=

根据勾股定理得：

=

到的距离

故答案为：（1）30° （2）①见详解 ②到的距离为