Question

【题目】如图，在平行四边形中，交于点，连接．

（1）如图1，点是上一点，连接，若，，，求的长；

（2）如图2，若，延长交延长线于点，以为斜边做等腰直角，连接，求证：．

Answer 1

【答案】（1）EF＝﹣4；（2）见详解

【解析】

（1）先利用勾股定理得出CE＝，然后在Rt△BCE中，依据勾股定理可得，进而得出EF＝﹣4；

（2）过C作CM⊥CG，交GH的延长线于M，连接EM，判定△BCG≌△ECM（SAS），即可得出∠CEM＝∠CBG＝45°，再根据H是MG的中点，即可得到Rt△MEG中，EH＝MG＝HG．

解：（1）∵平行四边形ABCD中，CE⊥BC，

∴CE⊥AD，

又∵∠ECD＝30°，

∴Rt△CDE中，DE＝CD＝1，

∴

又∵在Rt△BCE中，BC＝4，

∴，

∴EF＝BE﹣BF＝﹣4；

（2）如图2所示，过C作CM⊥CG，交GH的延长线于M，连接EM，

∵△CGH是等腰直角三角形，∠MCG＝90°，

∴∠CGH＝∠CMG＝45°，

∴CG＝CM，

∵∠BCE＝90°，∠MCG＝90°，

∴∠BCG＝∠ECM，

又∵BC＝EC，

∴△BCG≌△ECM（SAS），

∴∠CEM＝∠CBG＝45°，

又∵∠BEC＝45°，

∴∠MEG＝90°，

又∵CM＝CG，CH平分∠MCG，

∴H是MG的中点，

∴Rt△MEG中，EH＝MG＝HG．