Question

19．已知抛物线y₁=-2x²+2和直线y₂=2x+2的图象如图所示，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁、y₂．若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的较小值记为M；若y₁=y₂，记M=y₁=y₂．例如：当x=1时，y₁=0，y₂=4，y₁＜y₂，此时M=0．则下列结论中一定成立的是②④（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①当x＞0时，y₁＞y₂；  
②使得M大于2的x值不存在；
③当x＜0时，x值越大，M值越小；
④使得M=1的x值是-$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 若y₁=y₂，记M=y₁=y₂．首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图象可得当x＞0时，利用函数图象可以得出y₂＞y₁；当-1＜x＜0时，y₁＞y₂；当x＜-1时，利用函数图象可以得出y₂＞y₁；然后根据当x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁、y₂．若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的较小值记为M；即可求得答案．

解答 解：∵当y₁=y₂时，即-2x²+2=2x+2时，
解得：x=0或x=-1，
∴当x＞0时，利用函数图象可以得出y₂＞y₁；当-1＜x＜0时，y₁＞y₂；当x＜-1时，利用函数图象可以得出0＞y₂＞y₁；
∴①不成立；
∵抛物线y₁=-2x²+2的最大值为2，故M大于2的x值不存在，
∴②成立；
∵抛物线y₁=-2x²+2，直线y₂=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁、y₂．若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的较小值记为M；
∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；
∴③不成立；
∵如图：当-1＜x＜0时，y₁＞y₂；
当M=1，2x+2=1，x=-$\frac{1}{2}$；
x＞0时，y₂＞y₁；
当M=1，-2x²+2=1，x₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去），
∴使得M=1的x值是-$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴④成立；
故答案为：②④．

点评 本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用．注意掌握函数增减性是解题关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．