Question

8．已知二次函数y=x²-2x-3的图象与x轴相交于A、B两点，点A在点B的左侧．其顶点为M，将此二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线y=x+n与此图象有且只有两个公共点时，则n的取值范围为n＞$\frac{13}{4}$或-3＜n＜1．

Answer 1

分析 通过解方程x²-2x-3=0得到A、B的坐标，利用二次函数的性质得到M点的坐标，则可写出图象y=（x-1）²-4（-1＜x＜3）沿x轴翻折所得图象的解析式为y=-x²+2x+3（-1＜x＜3），如图，然后求出直线y=x+n与y=-x²+2x+3（-1＜x＜3）相切m的值，直线y=x+n过A（-1，0）和过B点所对应的m的值，再利用图象可判断直线y=x+n与此图象有且只有两个公共点时m的取值范围．

解答 解：当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则A（-1，0），B（3，0），
y=x²-2x-3=（x-1）²-4，则M（1，-4），
把图象y=（x-1）²-4（-1＜x＜3）沿x轴翻折所得图象的解析式为y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3（-1＜x＜3），如图，
当直线y=x+n与y=-x²+2x+3（-1＜x＜3）相切时，直线与新函数图象有三个交点，此时x+n=y=-x²+2x+3有相等的实数解，
方程整理得x²-x+n-3=0，△=（-1）²-4（n-3）=0，解得n=$\frac{13}{4}$，
当直线y=x+n过A（-1，0）时，-1+n=0，解得n=1，
当直线y=x+n过B（3，0）时，3+n=0，解得n=-3，
所以当n＞$\frac{13}{4}$或-3＜n＜1时，直线y=x+n与此图象有且只有两个公共点．
故答案为n＞$\frac{13}{4}$或-3＜n＜1．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了抛物线与直线的交点问题．解决本题的关键是利用数形结合的思想的运用．