Question

AB为⊙O直径，弦DE⊥AB于C，过D点，作⊙O切线交BA延长线于P，tan∠P=

15

15

，OP=16，求：
（1）⊙O半径；
（2）求OC长；
（3）若F为弧AE中点，求cos∠AOF．

Answer 1

考点：切线的性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）连接OD，根据切线的性质得出OD⊥PD，根据已知条件和勾股定理即可求得⊙O半径；
（2）根据△OCD∽△ODP即可求得OC长；
（3）根据圆心角、弧之间的关系求得∠AOD=2∠AOF，根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出∠AOD=2∠ABD，从而得出∠AOF=∠ABD，求得cos∠ABD的值即可求得cos∠AOF的值．

解答：解：（1）如图，连接OD，
∵PD是切线，
∴OD⊥PD，
设⊙O半径为R，则OD=OA=OB=R，
∵tan∠P=

15

15

，
∴

OD

PD

=

15

15

，
∴PD=

15

R，
∵OP²=OD²+PD²，OP=16，
即（

15

R）²+R²=16²，解得R=4，
∴⊙O半径为4；
（2）∵DE⊥AB，
∴∠OCD=∠ODP=90°，
∵∠COD=∠DOP，
∴△OCD∽△ODP，
∴

OC

OD

=

OD

OP

，
∴OC=

OD2

OP

=1；
（3）连接BD，
∵OD=OB=4，OC=1，
∴BC=OB+OC=5，DC=

OD2-OC2

=

15

，
∴BD=

BC2+DC2

=2

10

，
∵DE⊥AB，AB是直径，
∴

AE

=

AD

，
∵F为弧AE中点，
∴∠AOD=2∠AOF，
∵∠AOD=2∠ABD，
∴∠AOF=∠ABD，
∴cos∠AOF=cos∠ABD=

BC

BD

=

5

2 10

=

10

4

；

点评：本题考查了切线的性质，圆心角和圆周角的关系，圆心角和弧的关系以及解直角三角形，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．