Question

如图，在△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过O点作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB外角的平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
（3）若∠BAC=45°，四边形AECF是正方形，求AO：BC的值．

Answer 1

考点：矩形的判定,等腰三角形的判定与性质,正方形的判定

专题：

分析：（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；
（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可；
（3）利用正方形的对角线相互垂直平分且相等的性质、等腰直角三角形的判定与性质进行解答．

解答：（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；

（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．

（3）∵四边形AECF是正方形，
∴AC⊥EF，AC=EF，且AO=

1

2

AC，
又∵∠BAC=45°，
∴∠B=∠BAC=45°，
∴BC=AC．
∴AO：BC=AO：AC=1：2．

点评：此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF=90°是解题关键．