Question

16．已知，在?ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足，EM⊥AD，FN⊥BC，M、N为垂足．求证：MF∥EN，MF=EN．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质和垂线的性质得出EM∥FN，由AAS证明△ADE≌△CBF，得出△ADE的面积=△CBF的面积，得出EM=NF，证出四边形MENF是平行四边形，即可得出结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠ADE=∠CBF，
∵EM⊥AD，FN⊥BC，
∴EM∥FN，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在△ADE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CBF}&{\;}\\{∠AED=∠CFB}&{\;}\\{AD=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴△ADE的面积=△CBF的面积，
∴EM=NF，
∴四边形MENF是平行四边形，
∴MF∥EN，MF=EN．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形MENF是平行四边形是解决问题的关键．