Question

如图所示，已知AD∥BC，且BD⊥CD，BD=CD，AC=BC．求证：AB=BO．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：过D作BC的垂线交BC于M点，过A作BC的垂线交BC于N点，因此AM∥DN，因为AD∥BC，所以DN=AM，根据等腰直角三角形性质得出BC=2DN=2AM，即AC=2AM，由于∠AMC为直角，所以∠ACB=30°，求出∠AOB=75°，∠OAB=75°，根据等角对等边即可得出答案．

解答：证明：过D作BC的垂线交BC于M点，过A作BC的垂线交BC于N点，则AM∥DN，
∵AD∥BC，
∴四边形AMND是矩形，
∴DN=AM，
∵BD⊥CD，BD=CD，
∴△BDC为等腰直角三角形，
∴BC=2DN=2AM，
∵AC=BC，
∴AC=2AM，
∵∠AMC为直角，
∴∠ACB=30°，
∴∠AOB=45°+30°=75°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=

1

2

（180°-∠ACB）=

1

2

（180-30）=75°，
∴∠AOB=∠OAB，
∴AB=BO．

点评：本题考查了等腰直角三角形性质，含30度角的直角三角形性质，平行四边形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，综合性比较强，有一定的难度．