Question

对于抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），下列说法：
①若b²-4ac=0，则抛物线顶点一定在x轴上；
②若a＞0，且一元二次方程ax²+bx+c=0有两根x₁，x₂（x₁＜x₂），则ax²+bx+c＜0的解集为x₁＜x＜x₂；
③若b²＜3ac，则y=ax²+bx+c与x轴一定没有交点；
④若b=3a+

c

3

，则方程ax²+bx+c=0有一根为-3．
其中正确的是（　　）

• A、①②③④
• B、只有①③
• C、只有①③④
• D、只有③④

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：利用抛物线与x轴的交点问题判断①正确；根据二次函数图象上点的坐标特征判断出②正确；进而利用抛物线与坐标轴交点个数确定方法以及方程根的性质求出即可．

解答：解：①若b²-4ac=0，则ax²+bx+c=0有两个相等的实数根，所以，抛物线的顶点一定在x轴上，故本小题正确；
②a＞0，抛物线开口向上，ax²+bx+c＜0的解集为x₁＜x＜x₂，故本小题正确；
③∵b²＜3ac，∴b²-3ac＜0，
∴b²-4ac＜0，∴y=ax²+bx+c与x轴一定没有交点，故此选项正确；
④若b=3a+

c

3

，则9a-3b+c=0，所以方程ax²+bx+c=0有一根为-3，故此选项正确；
综上所述，正确的是①②③④．
故选：A．

点评：本题考查了二次函数与不等式，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，综合题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．