Question

【题目】已知：在△ABC外分别以AB，AC为边作△AEB与△AFC．

（1）如图1，△AEB与△AFC分别是以AB，AC为斜边的等腰直角三角形，连接EF．以EF为直角边构造Rt△EFG，且EF＝FG，连接BG，CG，EC．

求证：①△AEF≌△CGF；②四边形BGCE是平行四边形．

（2）小明受到图1的启发做了进一步探究：

如图2，在△ABC外分别以AB，AC为斜边作Rt△AEB与Rt△AFC，并使∠FAC＝∠EAB＝30°，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，请你帮助小明求出的值及∠DEF的度数．

（3）小颖受到启发也做了探究：

如图3，在△ABC外分别以AB，AC为底边作等腰三角形AEB和等腰三角形AFC，并使∠CAF+∠EAB＝90°，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，当给定∠EAB＝α时，两者间也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若AE＝m，AB＝n，请你帮助小颖用含m，n的代数式直接写出的值，并用含α的代数式直接表示∠DEF的度数．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）＝；（3）cos∠DEF＝．

【解析】

（1）①根据SAS即可证明三角形全等．

②想办法证明BE＝CG，BE∥CG即可．

（2）如图2中，延长ED到G，使得DG＝ED，连接CG，FG．证明△CGF∽△AEF，推出，∠CFG＝∠AFE，推出∠EFG＝∠CFG+∠EFC＝∠AFE+∠EFC＝90°，推出tan∠DEF＝，可得∠DEF＝30°即可解决问题．

（3）如图3中，延长ED到G，使得DG＝ED，连接CG，FG．作EH⊥AB于H，连接FD．想办法证明∠AEH＝∠DEF，利用勾股定理求出EH，即可解决问题．

（1）证明：①如图1中，

∵△EFC与△AFC都是等腰直角三角形，

∴FA＝FC，FE＝FG，∠AFC＝∠EFG＝90°，

∴∠AFE＝∠CFG，

∴△AFE≌△CFG（SAS）．

②∵△AFE≌△CFG，

∴AE＝CG，∠AEF＝∠CGF，

∵△AEB是等腰直角三角形，

∴AE＝BE，∠BEA＝90°，

∴CG＝BE，

∵△EFG是等腰直角三角形，

∴∠FEG＝∠FGE＝45°，

∴∠AEF+∠BEG＝45°，

∵∠CGE+∠CGF＝45°，

∴∠BEG＝∠CGE，

∴BE∥CG，

∴四边形BECG是平行四边形．

（2）解：如图2中，延长ED到G，使得DG＝ED，连接CG，FG．

∵点D是BC的中点，

∴BD＝CD，

∵∠EDB＝∠GDC，

∴EB＝GC，∠EBD＝∠GCD，

在Rt△AEB与Rt△AFC中，

∵∠EAB＝∠FAC＝30°，

∴，，

∴，

∵∠EBD＝∠2+60°，

∴∠DCG＝∠2+60°，

∴∠GCF＝360°﹣60°﹣（∠2+60°）﹣∠3

＝360°﹣120°﹣（∠2+∠3）

＝360°﹣120°﹣（180°﹣∠1）

＝60°+∠1，

∵∠EAF＝30°+∠1+30°＝60°+∠1，

∴∠GCF＝∠EAF，

∴△CGF∽△AEF，

∴，∠CFG＝∠AFE，

∴∠EFG＝∠CFG+∠EFC＝∠AFE+∠EFC＝90°，

∴tan∠DEF＝，

∴∠DEF＝30°，

∴FG＝EG，

∵ED＝EG，

∴ED＝FG，

∴．

（3）如图3中，延长ED到G，使得DG＝ED，连接CG，FG．作EH⊥AB于H，连接FD．

∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDG，DE＝DG，

∴△CDG≌△BDE（SAS），

∴CG＝BE＝AE，∠DCG＝∠DBE＝α+∠ABC，

∵∠GCF＝360°﹣∠DCG﹣∠ACB﹣∠ACF＝360°﹣（α+∠ABC）﹣∠ACB﹣（90°﹣α）＝270°﹣（∠ABC+∠ACB）＝270°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC＝∠EAF，

∴△EAF≌△GCF（SAS），

∴EF＝GF，∠AFE＝∠CFG，

∴∠AFC＝∠EFC，

∴∠DEF＝∠CAF＝90°﹣α，

∵∠AEH＝90°﹣α，

∴∠AEH＝∠DEF，

∵AE＝m，AH＝AB＝n，

∴EH＝，

∵DE＝DG，EF＝GF，

∴DF⊥EG，

.