Question

如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点A作PO的垂线AB，垂足为D，交⊙O于点B，BO的延长线交⊙O于点C．
（1）求证：PB与⊙O相切；
（2）连接AC，BF，BE，若AC=3，BE：BF=1：2，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OA，证明△POB≌△POA，根据全等三角形的对应角相等证得∠OAP=90°，即直线PA为⊙O的切线；   
（2）连接BE，构建直角△BEF．在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理可设BE=x，BF=2x，进而可得EF=

5

x；然后由面积法求得BD=

2 5

5

x，所以根据垂径定理求得AB的长度，在Rt△ABC中，根据勾股定理易求BC的长．

解答：（1）证明：连接OA，
∵PA与圆O相切，
∴PA⊥OA，即∠OAP=90°，
∵OP⊥AB，
∴D为AB中点，即OP垂直平分AB，
∴PA=PB，
在△OAP和△OBP中，

AP=BP OP=OP OA=OB

，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴BP⊥OB，
则直线PB为圆O的切线；

（2）解：连接AC、BE、BF．
∵EF是⊙O的直径，
∴∠FBE=90°．
∵tan∠F=

BE

BF

=

1

2

，
∴BF=2BE，
∴可设BE=x，BF=2x，
则由勾股定理，得
EF=

BE2+BF2

=

5

x，
∵

1

2

BE•BF=

1

2

EF•BD，即

1

2

x•2x=

1

2

×

5

x•BD
∴BD=

2 5

5

x．
又∵AB⊥EF，
∴AB=2BD=

4 5

5

x，
∴Rt△ABC中，BC=

5

x，
AC²+AB²=BC²，
∴3²+（

4 5

5

x）²=（

5

x）²，
解得：x=

5

（舍去负值），
∴BC=

5

×

5

=5，
∴该圆的半径是

1

2

BC=

5

2

．

点评：此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．