Question

12．如图，抛物线y=（x-m）²+n的顶点P在直线y=2x上，该抛物线与直线的另一个交点为A，与y轴的交点为Q．
（1）当m=n-1时，求m的值；
（2）当AQ∥x轴时，试确定抛物线的解析式；
（3）随着顶点P在直线y=2x上的运动，是否存在直角△PAQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的顶点在y=2x上可知n=2m，然后由m=n-1可求得m的值；
（2）先求得点Q、点A的坐标（用含m的式子表示），然后根据平行与x轴的直线上所有点的纵坐标相等列出关于m的方程，从而可求得m的值；
（3）先求得直线AQ、PQ的一次项系数“k”的值（用含m的式子表示），然后依据相互垂直的两条直线的一次项系数的乘积是-1，分别列出关m的方程求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线的解析式为y=（x-m）²+n，
∴P（m，n）．
∵顶点P在直线y=2x上，
∴n=2m．
又∵m=n-1，
∴m=2m-1．
解得：m=1．
（2）∵n=2m，
∴抛物线的解析式为y=（x-m）²+2m．
∵当x=0时，y=m²+2m，
∴点Q的坐标为（0，m²+2m）．
由y=（x-m）²+2m与y=2x得：2x=（x-m）²+2m，解得：x₁=m，x₂=m+2．
当x=m时，y=2m，即点P的坐标为（m，2m），
当x=m+2时，y=2m+4，即点A的坐标为（m+2，2m+4）．
∵AQ∥x轴，
∴m²+2m=2m+4，解得：m=2或m=-2．
∵当m=-2时，点A与点Q与原点重合，与AQ∥x轴不符，
∴m=-2不合题意．
∴m=2．
∴抛物线的解析式为y=（x-2）²+4．
（3）∵Q（0，m²+2m），P（m，2m），A（m+2，2m+4），
∴直线AQ的一次项系数=$\frac{2m+4-（{m}^{2}+2m）}{m+2-0}$=-m+2，直线PQ的一次项系数=$\frac{2m-（{m}^{2}+2m）}{m-0}$=-m．
①当∠AQP=90°时，-m（-m+2）=-1，解得m₁=m₂=1，则P（1，2）；
②当∠APQ=90°时，-m×2=-1，解得m=$\frac{1}{2}$，则P（$\frac{1}{2}$，1）；
③当∠PAQ=90°时，（-m+2）×2=-1，解得m=$\frac{5}{2}$，则P（$\frac{5}{2}$，5）．
综上所述，点P的坐标为（1，2）或（$\frac{1}{2}$，1）或P（$\frac{5}{2}$，5）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，依据平行与x轴的直线上所有点的纵坐标相等、相互垂直的两条直线的一次项系数的乘积是-1列出关于m的方程是解题的关键．