Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，且∠B=2∠A，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，EF=FC．

（1）求证：CF是⊙O的切线．

（2）设⊙O的半径为2，且AC=CE，求AM的长．

　

Answer 1

【考点】切线的判定；勾股定理．

【专题】证明题．

【分析】（1）连接OC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用∠B=2∠A可计算出∠B=60°，∠A=30°，易得∠E=30°，接着由EF=FC得到∠ECF=∠E=30°，所以∠FCA=60°，加上∠OCA=∠A=30°，所以∠FCO=∠FCA+∠ACO=90°，于是可根据切线的判定得到FC是⊙O的切线；

（2）利用含30度的直角三角形三边的关系．在Rt△ABC中可计算出BC=AB=2，AC=BC=2，则CE=2，所以BE=BC+CE=2+2，然后在Rt△BEM中计算出BM=BE=1+，

再计算AB﹣BM的值即可．

【解答】（1）证明：连接OC，如图，

∵⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，

∴AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

又∵∠B=2∠A，

∴∠B=60°，∠A=30°，

∵EM⊥AB，

∴∠EMB=90°，

在Rt△EMB中，∠B=60°，

∴∠E=30°，

又∵EF=FC，

∴∠ECF=∠E=30°，

又∵∠ECA=90°，

∴∠FCA=60°，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠A=30°，

∴∠FCO=∠FCA+∠ACO=90°，

∴OC⊥CF，

∴FC是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，

∴BC=AB=2，AC=BC=2，

∵AC=CE，

∴CE=2，

∴BE=BC+CE=2+2，

在Rt△BEM中，∠BME=90°，∠E=30°

∴BM=BE=1+，

∴AM=AB﹣BM=4﹣1﹣=3﹣．

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．