Question

16．如图，△ABC是等边三角形，D、E分别在BC、AB上，且AE=BD，连接AD、CE交于P，过点C作CH⊥AD于H．
（1）求证：△ACE≌△BAD；
（2）求$\frac{PC}{PH}$的值．
（3）若AH²+AH•AP-6AP²=0，试判断BP、PC的位置关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的三条边相等、三个内角都是60°可以推知：AC=AB，∠ACE=∠ABD=60°，然后结合已知条件，利用全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）因为CH⊥AD，△PCH为直角三角形，由△ACE≌△BAD得出∠AEP=∠ADB，进一步得出∠APE=∠ABD=60°，则∠CPH=∠APE=60°，进一步求得∠PCH=30°解决问题；
（3）先判断出AH=2AP，进而判断出△ABH≌△CAP，即可得出∠PBH=∠BPH=30°，即可得出结论．

解答 证明：（1）
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠ACE=∠ABD=60°．
在△ACE与△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠ACE=∠ABD}\\{AE=BD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABD（SAS）；
（2）解：∵CH⊥AD，
∴△PCH为直角三角形，
∵△ACE≌△BAD，
∴∠AEP=∠ADB，
∴∠APE=∠ABD=60°，
∴∠CPH=∠APE=60°，
∴∠PCH=30°，
∴PC=2PH，
即$\frac{PC}{PH}$=2，
（3）BP⊥PC．
理由：如图，连接BH，

∵AH²+AH•AP-6AP²=0，
∴（AH+3AP）（AH-2AP）=0，
∴AH=2AP，
∴AP=PH，
由（2）知，PC=2PH，
∴PC=AH，
在△ABH和△CAP中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠ACP}\\{AH=PC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△CAP，
∴∠BHP=∠APC=120°，BH=AP，
∵AP=PH，
∴BH=PH，
∴∠PBH=∠BPH，
∴∠BPH=$\frac{180°-∠BHP}{2}$=30°，
∵∠CPH=60°
∴∠BPC=∠BPH+∠HPC=90°，
∴BP⊥PC．

点评 此题是三角形综合题，主要考查等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质及有30°角的直角三角形的性质等知识；熟练综合运用基本知识解决问题，得出AH=2AP是解本题的关键．