Question

15．操作：某数学兴趣小组在研究用一副三角板拼角时，小明、小亮分别拼出图1、图2所示的两种图形，如图1，小明把30°和90°的角按如图1方式拼在一起；小亮把30°和90°的角按如图2方式拼在一起，并在各自所拼的图形中分别作出∠AOB、∠COD的平分线OE、OF．小明很容易地计算出图1中∠EOF=60°．

计算：请你计算出图2中∠EOF=75度．
归纳：通过上面的计算猜一猜，当有公共顶点的两个角∠α、∠β有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，则这两个角的平分线所夹的角=$\frac{1}{2}∠α+\frac{1}{2}∠β$．（用含α、β的代数式表示）
拓展：小明把图1中的三角板AOB绕点O顺时针旋转90°后得到图3，小亮把图2中的三角板AOB绕点O顺时针旋转90°后得到图4（两图中的点O、B、D在同一条直线上）．在图3中，易得到∠EOF=∠DOF-∠BOE=$\frac{1}{2}$∠COD-$\frac{1}{2}$∠AOB=45°-15°=30°；仿照图3的作法，请你通过计算，求出图4中∠EOF的度数（写出解答过程）．
反思：通过上面的拓展猜一猜，当有公共顶点的两个角∠α、∠β（∠α＞∠β）有一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，则这两个角的平分线所夹的角=$\frac{1}{2}∠α-\frac{1}{2}∠β$．

Answer 1

分析 计算和归纳：根据角平分线的定义和角的位置关系可以求得：∠AOE=∠EOB=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠COF=∠FOD=$\frac{1}{2}$∠COD，再根据∠EOF=∠EOB+∠BOF可以求得∠EOF的度数；拓展和反思：根据角平分线的定义和角的位置关系可以求得：∠AOE=∠EOB=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠COF=∠FOD=$\frac{1}{2}$∠COD，再根据∠EOF=∠BOF-∠BOE可以求得∠EOF的度数．

解答 解：计算：∵∠AOC=60°，∠COD=90°，
∵OE、OF分别平分∠AOB、∠COD，
∴∠AOE=∠EOB=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠COF=∠FOD=$\frac{1}{2}$∠COD，
∴∠EOF=∠BOE+∠COF=75°，
故答案为：75°；
归纳：$\frac{1}{2}∠α+\frac{1}{2}∠β$；
故答案为：$\frac{1}{2}∠α+\frac{1}{2}∠β$；
拓展：∵OE、OF分别平分∠AOB、∠COD，
∴$∠DOE=\frac{1}{2}∠AOB$=30°，$∠DOF=\frac{1}{2}∠COD=45°$，
∴∠EOF=∠DOF-∠DOE=15°；
反思：$\frac{1}{2}∠α-\frac{1}{2}∠β$，
故答案为：$\frac{1}{2}∠α-\frac{1}{2}∠β$．

点评 此题主要考查了角的计算，关键是注意此题分两种情况．