Question

如图，AB=AD=BC，点E、F、M、N分别是BD、AC、EF、AB的中点，求证：MN⊥EF．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线

专题：证明题

分析：连接AE、BF、EN、FN，由于点E、F分别是BD、AC的中点，根据等腰三角形三线合一性质，得出△ABE和△ABF是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出FN=

1

2

AB；EN=

1

2

AB，得出△ENF是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一性质，即可证得MN⊥EF．

解答：证明：如图，连接AE、BF、EN、FN．
∵AB=AD=BC，
∴△ABC和△ABD都是等腰三角形，
又∵点E、F分别是BD、AC的中点，
∴BF垂直平分AC；AE垂直平分BD（等腰三角形三线合一性质），
∴△ABE和△ABF是直角三角形，
∵N是AB的中点，
∴FN=

1

2

AB；EN=

1

2

AB，
∴EN=FN，
∴△ENF是等腰三角形，
又∵M是EF的中点，
∴MN⊥EF（等腰三角形三线合一性质）．

点评：本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，作出辅助线构建直角三角形是关键．