Question

【题目】△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．

（1）若△AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）；
（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；
（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

【答案】
（1）

解：当点P在AC上时，∵AM=t，∴PM=AMtan60°= t．

∴y= t t= t2（0≤t≤1）．

当点P在BC上时，PM=BMtan30°= （4﹣t）．

y= t （4﹣t）=﹣ t2+ t（1≤t≤3）

（2）

解：∵AC=2，∴AB=4．∴BN=AB﹣AM﹣MN=4﹣t﹣1=3﹣t．

∴QN=BNtan30°= （3﹣t）．

由条件知，若四边形MNQP为矩形，需PM=QN，即 t= （3﹣t），

∴t= ．∴当t= s时，四边形MNQP为矩形

（3）

解：由（2）知，当t= s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，

∴△PQC∽△ABC．

除此之外，当∠CPQ=∠B=30°时，△QPC∽△ABC，此时 =tan30°= ．

∵ =cos60°= ，

∴AP=2AM=2t．

∴CP=2﹣2t．

∵ =cos30°= ，

∴BQ= （3﹣t）．

又∵BC=2 ，

∴CQ=2 ．

∴ ， ．

∴当 s或 s时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似

【解析】（1）分两种情况，点P可以在AC上时和当点P在BC上时，利用三角函数分别用含t的代数式表示出PM，AM，再用S△APM= AMPM得出y与t的函数关系式，（2）当PM=QN时，四边形MNQP为矩形，建立含t的方程，求得t的值，（3）以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况，△PQC∽△ABC时和△QPC∽△ABC，分别相似三角形的判定和性质，求得相对应的t的值．
【考点精析】通过灵活运用函数关系式和矩形的判定方法，掌握用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式；有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形即可以解答此题．