Question

10．如图，已知Rt△ABC的两条直角边，AC=6，BC=8，点D是BC边上的点，过D作DE⊥AB于E，点F是AC边上的动点，连结DF，EF，以DF、EF为邻边构造?DFEG：
（1）证明：△DBE∽△ABC；
（2）设CD长为a（0＜a＜8），用含a的代数式表示DE；
（3）若CD=4时，□DFEG的顶点G恰好落在BC所在直线上，求出此时AF的长．

Answer 1

分析 （1）由DE⊥AB，得到∠BED=90°，于是得到∠BED=∠C=90°，由于∠B=∠B，即可证得△DBE∽△ABC；
（2）解：在直角三角形ABC中，根据勾股定理求得AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=10，由△DBE∽△ABC，得到$\frac{BD}{AB}=\frac{DE}{AC}$，解方程$\frac{8-a}{10}=\frac{DE}{6}$，即可得到结果；
（3）如图，顶点G落在BC所在直线上，由四边形DFEG是平行四边形，得到GD∥EF，证得△ABC∽△AFE，得到$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$，代入数值即可得到结果．

解答 （1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠BED=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△DBE∽△ABC；

（2）解：在直角三角形ABC中，∵AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=10，
由（1）知，△DBE∽△ABC，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{DE}{AC}$，
即$\frac{8-a}{10}=\frac{DE}{6}$，
∴DE=$\frac{（8-a）×6}{10}=\frac{24-3a}{5}$

（3）如图，顶点G落在BC所在直线上，
∵四边形DFEG是平行四边形，
∴GD∥EF，
∴△ABC∽△AFE，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}$，
∵CD=a=4，
∴DE=$\frac{24-3a}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∵BC=8，∴BD=4，
∴BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴AE=10-$\frac{16}{5}$=$\frac{34}{5}$，
∴AF=$\frac{AE•AC}{AB}=\frac{\frac{34}{5}×6}{10}$=$\frac{102}{25}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握定理是解题的关键．