Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°．过点B作DB⊥AB交CA的延长线于点D，过点C作CE⊥AC交BA的延长线于点E，点F为AE的中点，连接CF．

（1）求证：△DBA≌△ECA；

（2）△CAF是等边三角形吗？为什么？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△AFC是等边三角形．理由见解析.

【解析】

（1）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；

（2）利用直角三角形斜边中线的性质，再证明△ACF是等边三角形即可判断．

（1）证明：∵BD⊥AB，EC⊥CA，

∴∠DBA＝∠ECA＝90°，

在△DBA和△ECA中，

，

∴△DBA≌△ECA（ASA）．

（2）解：∵△DBA≌△ECA，

∴AD＝AE，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝30°，

∴∠FAC＝∠ABC+∠ACB＝60°，

∵AF＝FE，∠ACE＝90°，

∴CF＝AF＝EF，

∴△AFC是等边三角形．