Question

【题目】如图，在直角坐标系中,点A的坐标为（1，0）,以线段OA为边在第四象限内作等边△ABC，点C为x轴正半轴上一动点(OC＞10，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E.下列结论正确的有( )个

(1)△OBC≌△ABD；(2)点E的位置不随着点C位置的变化而变化，点E的坐标是(0,) ；(3)∠DAC的度数随着点C位置的变化而改变；(4)当点C的坐标为(m，0)(m＞1)时，四边形ABDC的面积S与m的函数关系式为.

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

(1)根据等边△AOB和等边△CBD易判断△OBC≌△ABD；
(2)根据（1）容易得到∠OAE=60°，根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半可以得到AE=2，根据勾股定理可求得点E的坐标；

(3)根据（1）容易得到∠DAC =60°，是一个固定的值；

(4)根据△OBC≌△ABD，可得四边形ABDC的面积S=S△ACD+S△ABD=S△ACD+S△OBC，即可解题．

（1）∵△AOB是等边三角形，
∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°，
又∵△CBD是等边三角形
∴BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
，

∴△OBC≌△ABD（SAS）；（1）正确；
（2）∵△OBC≌△ABD，
∵∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，
∴Rt△OEA中，
∵∠OAE=60°，
∴∠AEO=30°，
∴AE=2OA=2，
∴OE=，
∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为E（0，）；（2）正确；
（3）∵∠OAE=60°，
∴∠DAC=60°，
∴∠DAC的度数不会随着点C位置的变化而改变；（3）错误；
（4）∵△OBC≌△ABD，
∴四边形ABDC的面积

，故（4）正确；

综上：正确的有（1）、（2）、（4）共3个

故选：C．