【题目】如图,一次函数y=x+1的图象与二次函数y=x2+bx+c的图象交于A,B两点,点A在x轴上.点B的横坐标为4.
(1)b= ,c= ;
(2)设二次函数的图象与y轴交于C点,与x轴的另一个交点为D.连接AC,CD,求∠ACD的正弦值;
(3)若M点在x轴下方二次函数图象上,
①过M点作y轴平行线交直线AB于点E,以M点为圆心,ME的长为半径画圆,求圆M在直线AB上截得的弦长的最大值;
②若∠ABM=∠ACO,则点M的坐标为 .
【答案】(1)﹣,﹣3;(2);(3)①,②
【解析】
(1)求出点A、B的坐标,将点A、B的坐标代入抛物线表达式,即可求解;
(2)由点A、C、D的坐标得:AD=5,DC=3,AC=,利用解直角三角形的方法求解即可;
(3)①EF=2EH=2EMcos∠AEM=(m+1﹣m2+m+3)=﹣m2+m+,即可求解;
②利用解直角三角形的方法求AP的值,得到OP,进而求解.
(1)对于y=x+1,令y=0,则x=﹣2,故点A(﹣2,0),
将点B的坐标代入直线表达式并解得:点B(4,3),
将点A、B的坐标代入抛物线表达式得:,解得:,
故答案为:﹣;﹣3;
(2)由(1)知抛物线的表达式为:y=x2﹣x﹣3①,
令y=0,则x=3或﹣2,故点D(3,0),
令x=0,则y=﹣3,故点C(0,﹣3),
由点A、C、D的坐标得:AD=5,DC=3,AC=,
过点D作DH⊥AC于点H,设CH=x,则AH=﹣x,
在△ACD中,HD2=OA2﹣AH2=CD2﹣CH2,即25﹣(﹣x)2=(3)2﹣x2,
解得:x=,
,
则sin∠ACD=;
(3)①如图2,设圆M与直线AB的另外一个交点为F,则EF为所求,
连接MF,过点M作MH⊥AB于点H,
由直线AB的表达式知tan∠EAO=,则tan∠AEM=2,则cos∠AEM=,
设点M(m,m2﹣m﹣3),则点E(m,m+1),
则EF=2EH=2EMcos∠AEM=(m+1﹣m2+m+3)=﹣m2+m+,
∵<0,故EF有最大值,当m=1时,EF的最大值为,
故圆M在直线AB上截得的弦长的最大值为;
②如图3,设直线AB交y轴于点H(0,1),直线BM交x轴于点P,过点P作PQ⊥AB于点Q,
由直线AB的表达式知tan∠BAO=,则tan∠AGO=2,
在Rt△AQD中,tan∠QAD= tan∠BAO=,
在△AOC中,tan∠ACO==,
∵∠ABM=∠ACO,
tan∠ABM= tan∠ACO==
设PQ=2x,则QB=3x,AQ=4x,
则AB=AQ+QB=7x=,解得:x=,
AP=,
∴OP=AP﹣OA=,故点P,
由点B、P的坐标得,直线PB的表达式为:y=﹣x﹣4②,令y=x2﹣x﹣3①
联立①②并解得:x=或4(与点B重合,舍去),
将x=代入②,得
故点M,
故答案为.
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【题目】如图,抛物线y=(x+2)(x﹣8)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,顶点为M,以AB为直径作⊙D.下列结论:①抛物线的对称轴是直线x=3;②⊙D的面积为16π;③抛物线上存在点E,使四边形ACED为平行四边形;④直线CM与⊙D相切.其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图所示抛物线过点,点,且
(1)求抛物线的解析式及其对称轴;
(2)点在直线上的两个动点,且,点在点的上方,求四边形的周长的最小值;
(3)点为抛物线上一点,连接,直线把四边形的面积分为3∶5两部分,求点的坐标.
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【题目】横、纵坐标均为整数的点称为格点,如图,的三个顶点,,均为格点,上的点也为格点,用无刻度的直尺作图:
(1)将线段绕点顺时针旋转90°,得到线段,写出格点的坐标;
(2)将线段平移至线段,使点与点重合,直接写出格点的坐标;
(3)画出线段关于对称的线段,保留作图痕迹.
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【题目】某校为了解九年级学生新冠疫情防控期间每天居家体育活动的时间(单位:),在网上随机调查了该校九年级部分学生.根据调查结果,绘制出如下的统计图1和图2.请根据相关信息,解答下列问题:
(1)本次接受调查的初中学生人数为________,图①中的值为________;
(2)这组数据的平均数是________,众数是________,中位数是________;
(3)根据统计的这组每天居家体育活动时间的样本数据,估计该校500名九年级学生居家期间每天体育活动时间大于的学生人数.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AD平分∠BAC交⊙O于D,过D作DE⊥AC交AC延长线于点E,交AB延长线于点F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)若DE=,tan∠BDF=,求DF的长.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,M、N是对角线AC上的两个动点,P是正方形四边上的任意一点,且,.关于下列结论:①当△PAN是等腰三角形时,P点有6个;②当△PMN是等边三角形时,P点有4个;③DM+DN的最小值等于6.其中,一定正确的结论的序号是_______.
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【题目】如图,将反比例函数y=(k>0)的图象向左平移2个单位长度后记为图象c,c与y轴相交于点A,点P为x轴上一点,点A关于点P的对称点B在图象c上,以线段AB为边作等边△ABC,顶点C恰好在反比例函数y=﹣(x>0)的图象上,则k=_____.
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【题目】某公司销售部有营业员20人,该公司为了调动营业员的积极性,决定实行目标管理,根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励,为了确定一个适当的月销售目标,公司有关部门统计了这20人某月的销售量,如下表所示:
某公司20位营业员月销售目标统计表
月销售量/件数 | 1760 | 480 | 220 | 180 | 120 | 90 |
人数 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 4 |
请根据以上提供的信息解答下列问题:
(1)求这个月中20位营业员的月销售量的平均数;
(2)为了提高大多数营业员积极性,公司将发放A,B,C三个等级的奖金(金额:),如果你是管理者,从平均数,中位数,众数的角度进行分析,你将如何确定领取A,B,C级奖金各需达到的月销售量.
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