Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，过D作DE⊥AC交AC延长线于点E，交AB延长线于点F．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若DE=，tan∠BDF=，求DF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）DF=4．

【解析】

（1）连接OD，证明OD∥AE，∠ODF=90°，问题得证；

（2）证明∠BDF=∠DAE=∠BAD，依次求出AE、AD、DB、AB，证明△FBD∽△FDA，相似比为1:2，，求出BF，DF．

（1）连接OD

∵AD平分∠FAC，

∴∠BAD=∠DAE

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，

∴∠DAE=∠ODA，

∴OD∥AE，∴∠E=∠ODF

∵DE⊥AC，

∴∠E=90°，

∴∠ODF=90°，

∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线．

（2）∵AB为直径，∴∠ADB=90°，

∴∠ADE+∠BDF=90°，

∵∠E=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°

∴∠BDF=∠DAE，∵∠BAD=∠DAE

∴∠BDF=∠DAE=∠BAD

∵tan∠BDF=，

∴tan∠BDF=tan∠DAE=tan∠BAD=

∴，

∵DE=，∴AE=，AD=

∴BD=，∴AB=6

又∠F=∠F，∠BDF=∠BAD

∴△FBD∽△FDA，

∴，∴DF=2BF，

∴，又BA=6

∴BF=2，∴DF=4