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【题目】如图①,△ABC中,∠ABC=45°,AHBC于点H,点DAH上,且DH=CH,连结BD

1)求证:BD=AC

2)将△BHD绕点H旋转,得到△EHF(点BD分别与点EF对应),连接AE

①如图②,当点F落在AC上时,(F不与C重合),若BC=4tanC=3,求AE的长;

②如图③,当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时,设射线CFAE相交于点G,连接GH,试探究线段GHEF之间满足的等量关系,并说明理由

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】

试题分析:(1)先判断出AH=BH,再判断出△BHD≌△AHC即可;

(2)①先根据tanC=3,求出AH=3,CH=1,然后根据△EHA≌△FHC,得到,HP=3AP,AE=2AP,最后用勾股定理即可;

②先判断出△AGQ∽△CHQ,得到,然后判断出△AQC∽△GQH,用相似比即可.

试题解析:(1)在Rt△AHB中,∠ABC=45°,∴AH=BH,在△BHD和△AHC中,AH=BH,BHD=AHC,DH=CH,∴△BHD≌△AHC,∴BD=AC

(2)①如图,在Rt△AHC中,∵tanC=3,∴=3,设CH=x,∴BH=AH=3x,∵BC=4,∴3x+x=4,∴x=1,∴AH=3,CH=1,由旋转知,∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°,EH=AH=3,CH=DH=FH,∴∠EHA=∠FHC,,∴△EHA≌△FHC,∴∠EAH=∠C,∴tan∠EAH=tanC=3,过点H作HP⊥AE,∴HP=3AP,AE=2AP,在Rt△AHP中,,∴,∴AP=,∴AE=

②由①有,△AEH和△FHC都为等腰三角形,∴∠GAH=∠HCG=90°,∴△AGQ∽△CHQ,∴,∴,∵∠AQC=∠GQE,∴△AQC∽△GQH,∴=sin30°=

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(4)如图(3),在ABC中,AB=14,AC=15,BC=13,点D、E在直线AB上,且AD=AC,BE=BC.请根据题意把图形补画完整,并在图形的下方直接写出DCE的面积.(如果有多种情况,图形不够用请自己画出,各种情况用一个图形单独表示).

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