Question

如图，过O和M（2，2）的⊙I，交坐标轴于A、B两点．
（1）求OA+OB的值；
（2）设△BOA的内切⊙I的直径d，求证：d+AB=定值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）过点M作ME⊥y轴，作MF⊥x轴，垂足分别为E、F，连接BM，AM，由条件可证明△BEM≌△AFM，可得BE=AF，再利用线段的和差可得出OA+OB的值；
（2）根据切线长定理结合线段的和差可知d+AB=OA+OB，结合（1）可知其为定值．

解答：（1）解：如图1，过点M作ME⊥y轴，作MF⊥x轴，垂足分别为E、F，连接BM，AM，
∵∠AOB=90°，
∴AB为直径，
∴∠BMA=90°，且∠EMF=90°，
∴∠BME=∠AMF，
∵M坐标为（2，2），
∴ME=MF=2，
在Rt△BEM和Rt△AFM中

∠BEM=∠AFM ME=MF ∠BME=∠AMF

∴△BEM≌△AFM（ASA），
∴BE=AF，
∴OA+OB=OA+OE+BE=OA+AF+OE=OF+OE=2+2=4；

（2）证明：设△BOA内切圆的半径为r，如图2，不妨设内切圆切OA于点C，切OB于点D，切AB于点G，
因为该圆与x、y轴都相切，
所以OD=OC=r，
由切线长定理可得BD=BG，AC=AG，
∴d+AB=OD+OC+AB=OD+OC+BG+AG=OD+BD+OC+AC=OB+OA，
由（1）知OA+OB=4，
∴d+AB=4，
即d+AB=定值．

点评：本题主要考查圆周角定理及切线长定理的应用，在（1）中构造三角形全等是解题的关键，在（2）中结合切线长定理转化成（1）的结论是解题的关键．