Question

【题目】（1）在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F．

①如图1，AC＝BC，点E为AC的中点，求证：EF＝EG；

②如图2，BE平分∠CBA，AC＝2BC，试探究EF与EG的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图3，在△ABC中，若，点E在边AB上，点D在线段BC的延长线上，连接DE交AC于M，∠CMD＝60°，DE＝2AC，，直接写出BE的长．

Answer 1

【答案】（1）①详见解析；②，理由详见解析；（2）．

【解析】

（1）①过E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，利用等腰直角三角形的性质得到AD=CD，根据三角形中位线的性质证得EN=EM,再证明△EFM≌△EGN即可得到结论；

②作EP⊥AB于点P，EQ⊥CD于点Q，根据BE平分∠ABC，EC⊥BC，EP⊥AB，证得EC＝EP，再证明△ECQ∽△ABC，设CQ＝a，EQ＝2a，根据比例线段求出答案；

（2）过C作CF∥DE，过A作AF⊥AC，交CF于F，连接EF，先证明四边形EFCD是平行四边形，得到∠ABC＝∠BEF＝30°，即可证得A、F、B、C四点共圆，再利用三角函数求出答案.

（1）①证明：如图1，过E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠A＝∠ABC＝45°，

∴AD＝CD，

∵点E为AC的中点，CD⊥AB，EN⊥DC，

，

，

∴EN＝EM，

∵∠FEB＝90°，∠MEN＝90°，

∴∠NEG＝∠FEM，

在△EFM和△EGN中，，

∴△EFM≌△EGN（ASA），

∴EF＝EG；

②解：，理由如下：

如图2，作EP⊥AB于点P，EQ⊥CD于点Q，

易证：△EFP∽△EGQ，

∴，

∵BE平分∠ABC，EC⊥BC，EP⊥AB，

∴EC＝EP，

∵EQ∥AB，

∴∠CEQ＝∠A，

∵∠EQC＝∠ACB，

∴△ECQ∽△ABC，

∴，

设CQ＝a，EQ＝2a，则，

∴，

（2）解：如图3，过C作CF∥DE，过A作AF⊥AC，交CF于F，连接EF，

，

∴∠ABC＝30°，

∵CF∥DE，

∴∠ACF＝∠DMC＝60°，

∴∠AFC＝30°，

∵∠CAF＝90°，

∴CF＝2AC，

∵DE＝2AC，

∴DE＝CF，

∴四边形EFCD是平行四边形，

∴EF∥CD，，

∴∠ABC＝∠BEF＝30°，

∵∠AFC＝∠ABC＝30°，

∴A、F、B、C四点共圆，

∴∠FBC+∠CAF＝180°，

∴∠FBC＝90°，

∵EF∥BC，

∴∠BFE＝90°，，

．