【题目】如图是抛物线图象的一部分,抛物线的顶点坐标为
,与
轴的一个交点为
,点
和点
均在直线
上.①
;②
;③抛物线与
轴的另一个交点时
;④方程
有两个不相等的实数根;⑤
;⑥不等式
的解集为
.
上述六个结论中,其中正确的结论是_____________.(填写序号即可)
【答案】①④
【解析】
①由对称轴x=1判断;②根据图象确定a、b、c的符号;③根据对称轴以及B点坐标,通过对称性得出结果;③根据的判别式的符号确定;④比较x=1时得出y1的值与x=4时得出y2值的大小即可;⑤由图象得出,抛物线总在直线的下面,即y2>y1时x的取值范围即可.
解:①因为抛物线的顶点坐标A(1,3),所以对称轴为:x=1,则-=1,2a+b=0,故①正确;
②∵抛物线开口向下,∴a<0,∵对称轴在y轴右侧,∴b>0,∵抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0,∴abc<0,故②不正确;
③∵抛物线对称轴为x=1,抛物线与x轴的交点B的坐标为(4,0),∴根据对称性可得,抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-2,0),故③不正确;
④∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴的判别式,
=b2-4a(c+3)= b2-4ac-12a,又a<0,∴-12a>0,∴
= b2-4ac-12a>0,故④正确;
⑤当x=-1时,y1=a-b+c>0;当x=4时,y2=4m+n=0,∴a-b+c>4m+n,故⑤不正确;
⑥由图象得:的解集为x<1或x>4;故⑥不正确;
则其中正确的有:①④.
故答案为:①④.
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【题目】如图1,AB是⊙O的直径,AC是弦,点P是的中点,PE⊥AC交AC的延长线于E.
(1)求证:PE是⊙O的切线;
(2)如图2,作PH⊥AB于H,交BC于N,若NH=3,BH=4,求PE的长.
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【题目】一般情况下,中学生完成数学家庭作业时,注意力指数随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB、BC为线段,CD为双曲线的一部分).
(1)分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式;
(2)若学生的注意力指数不低于40为高效时间,根据图中信息,求出一般情况下,完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟?
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【题目】某种进价为每件40元的商品,通过调查发现,当销售单价在40元至65元之间()时,每月的销售量
(件)与销售单价
(元)之间满足如图所示的一次函数关系.
(1)求与
的函数关系式;
(2)设每月获得的利润为(元),求
与
之间的函数关系式;
(3)若想每月获得1600元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(4)当销售单价定为多少元时,每月的销售利润最大?最大利润是多少元?
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【题目】y=kx+b的图象经过点(﹣2,2)、(3,7)且与坐标轴相交于点、B两点.
(1)求一次函数的解析式.
(2)如图,点P是直线AB上一动点,以OP为边作正方形OPNM,连接ON、PM交于点Q,连BQ,当点P在直线AB上运动时,的值是否会发生变化?若不变,请求出其值;若变化,请说明理由.
(3)在(2)的条件下,在平面内有一点H,当以H、N、B、P为顶点的四边形为菱形时,直接写出点H的坐标.
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【题目】某店以每件60元的进价购进某种商品,原来按每件100元的售价出售,一天可售出50件;后经市场调查,发现这种商品每件售价每降低1元,其销量可增加5件.
(1)该店销售该商品原来一天可获利润 元.
(2)设后来该商品每件售价降价元,此店一天可获利润
元.
①若此店为了尽量多地增加该商品的销售量,且一天仍能获利2625元,则每件商品的售价应降价多少元?②求与
之间的函数关系式,当该商品每件售价为多少元时,该店一天所获利润最大?并求最大利润值.
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【题目】在平面直角坐标系中,对于点
和实数
,给出如下定义:当
时,以点
为圆心,
为半径的圆,称为点
的
倍相关圆.
例如,在如图1中,点的1倍相关圆为以点
为圆心,2为半径的圆.
(1)在点中,存在1倍相关圆的点是________,该点的1倍相关圆半径为________.
(2)如图2,若是
轴正半轴上的动点,点
在第一象限内,且满足
,判断直线
与点
的
倍相关圆的位置关系,并证明.
(3)如图3,已知点,反比例函数
的图象经过点
,直线
与直线
关于
轴对称.
①若点在直线
上,则点
的3倍相关圆的半径为________.
②点在直线
上,点
的
倍相关圆的半径为
,若点
在运动过程中,以点
为圆心,
为半径的圆与反比例函数
的图象最多有两个公共点,直接写出
的最大值.
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【题目】(1)计算:(﹣1)0+2sin30°-
+|﹣2017|;
(2)如图,在△ABC中,已知∠ABC=30°,将△ABC绕点B逆时针旋转50°后得到△A1BC1,若∠A=100°,求证:A1C1∥BC.
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