Question

【题目】如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．

（1）求证：四边形OCED是菱形；

（2）若∠CAB＝60，BC的长为，求四边形OCED的周长

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）16

【解析】

(1)首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形CODE是菱形；

(2) 根据矩形的性质及∠CAB＝60，可证△AOB是等边三角形，从而OA=OB=OC=AB，设AB＝x，AC＝ 2x，然后根据勾股定理求出x的值，即可求出四边形OCED的周长.

（1）证明：∵DE∥AC ，CE∥BD，

∴四边形OCED是平行四边形．

∵四边形ABCD是矩形，

∴ AC＝BD，

∴OC＝OD，

∴四边形OCED是菱形．

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝ 90°.

∴AC=BD.

∴OA=OB=OC，

又∵∠CAB＝60，

∴△AOB是等边三角形，

∴OA=OB=OC=AB.

设AB＝x，

∴AC＝ 2x，

∴，

∴，（舍），

∴OC=4，

由（1）可知四边形OCED是菱形，故它的周长为16cm．