Question

如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．

（1）求证：∠ADC=∠ABD；

（2）求证：AD²=AM•AB；

（3）若AM=，sin∠ABD=，求线段BN的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，

∵直线CD切⊙O于点D，

∴∠CDO=90°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

∵OB=OD，

∴∠3=∠4，

∴∠ADC=∠ABD；

（2）证明：∵AM⊥CD，

∴∠AMD=∠ADB=90°，

∵∠1=∠4，

∴△ADM∽△ABD，

∴，

∴AD²=AM•AB；

（3）解：∵sin∠ABD=，

∴sin∠1=，

∵AM=，

∴AD=6，

∴AB=10，

∴BD==8，

∵BN⊥CD，

∴∠BND=90°，

∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°，

∴∠DBN=∠1，

∴sin∠NBD=，

∴DN=，

∴BN==．