【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,sin∠ABC=,点D为射线BC上一点,联结AD,过点B作BE⊥AD分别交射线AD、AC于点E、F,联结DF,过点A作AG∥BD,交直线BE于点G.
(1)当点D在BC的延长线上时,如果CD=2,求tan∠FBC;
(2)当点D在BC的延长线上时,设AG=x,S△DAF=y,求y关于x的函数关系式(不需要写函数的定义域);
(3)如果AG=8,求DE的长.
【答案】(1);(2)
;(3)
或
.
【解析】
(1)求出AC=3,可得∠DAC=∠FBC,则tan∠FBC=tan∠DAC=;
(2)由条件可得∠AGF=∠CBF,可得,可用x表示CF和AF的长,求出CD,则S△DAF=
,可用x表示结果;
(3)分两种情况,①当点D在BC的延长线上时,②当点D在BC的边上时,可求出AE长AD的长,则DE=AD﹣AE可求出.
解:
(1)∵∠ACB=90,BC=4,sin∠ABC=
,
∴设AC=3x,AB=5x,
∴(3x)2+16=(5x)2,
∴x=1,
即AC=3,
∵BE⊥AD,
∴∠AEF=90,
∵∠AFE=∠CFB,
∴∠DAC=∠FBC,
∴tan∠FBC=tan∠DAC=;
(2)∵AG∥BD,
∴∠AGF=∠CBF,
∴tan∠AGF=tan∠CBF,
∴,
,
∴,
∴,
∴,
∵∠EAF=∠CBF,
∴,
∴,
∴S△DAF=;
(3)①当点D在BC的延长线上时,如图1,
∵AG=8,BC=4,AG∥BD,
∴,
∴AF=2CF,
∵AC=3,
∴AF=2,CF=1,
∴,
∴,
设AE=x,GE=4x,
∴x2+16x2=82,
解得x=,
即AE=,
同理tan∠DAC=tan∠CBF,
∴,
∴DC=,
∴AD=,
∴,
②当点D在BC的边上时,如图2,
∵AG∥BD,AG=8,BC=4,
∴,
∴AF=6,
∵∠EAF=∠CBF=∠ABC,
∴cos∠EAF=cos∠ABC,
∴,
∴,
同理,
∴,
∴,
∴DE=AE﹣AD=,
综合以上可得DE的长为或
;
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【题目】某市为了了解初中学校“高效课堂”的有效程度,并就初中生在课堂上是否具有“主动质疑”、“独立思考”、“专注听讲”、“讲解题目”等学习行为进行评价.为此,该市教研部门开展了一次抽样调查, 并将调查结果绘制成尚不完整的条形统计图和扇形统计图( 如图所示),请根据图中信息解答下列问题:
(1)这次抽样调查的样本容量为 .
(2)在扇形统计图中,“主动质疑”对应的圆心角为 度;
(3)请补充完整条形统计图;
(4)若该市初中学生共有万人,在课堂上具有“独立思考”行为的学生约有多少人?
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【题目】金松科技生态农业养殖有限公司种植和销售一种绿色羊肚菌,已知该羊肚菌的成本是12元/千克,规定销售价格不低于成本,又不高于成本的两倍.经过市场调查发现,某天该羊肚菌的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)的函数关系如下图所示:
(1)求y与x之间的函数解析式;
(2)求这一天销售羊肚菌获得的利润W的最大值;
(3)若该公司按每销售一千克提取1元用于捐资助学,且保证每天的销售利润不低于3600元,问该羊肚菌销售价格该如何确定.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则下列叙述正确的是( )
A. abc<0 B. -3a+c<0
C. b2-4ac≥0 D. 将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+c
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后,得到△DEC,点D刚好落在AB边上.
(1)求n的值;
(2)若F是DE的中点,判断四边形ACFD的形状,并说明理由.
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【题目】现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱,某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理,绘制了如下的统计图表(不完整):
步数 | 频数 | 频率 |
0≤x<4000 | 8 | a |
4000≤x<8000 | 15 | 0.3 |
8000≤x<12000 | 12 | b |
12000≤x<16000 | c | 0.2 |
16000≤x<20000 | 3 | 0.06 |
20000≤x<24000 | d | 0.04 |
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)写出a,b,c,d的值并补全频数分布直方图;
(2)本市约有37800名教师,用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步(包含12000步)的教师有多少名?
(3)若在50名被调查的教师中,选取日行走步数超过16000步(包含16000步的两名教师与大家分享心得,求被选取的两名教师恰好都在20000步(包含20000步)以上的概率.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8cm,BC=6cm.动点P、Q分别从点A、B同时开始移动,点P的速度为1 cm/秒,点Q的速度为2 cm/秒,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动下列时间瞬间中,能使△PBQ的面积为15cm 的是( )
A. 2秒钟 B. 3秒钟 C. 4秒钟 D. 5秒钟
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【题目】2019年11月26日,鲁南高铁正式开通运营.鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山.如图,施工方计划沿AC方向挖隧道,为了加快施工速度,要在小山的另一侧D(A、C、D共线)处同时施工.测得∠CAB=30°,,∠ABD=105°,求AD的长.
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【题目】我市某校准备成立四个活动小组:.声乐,
.体育,
.舞蹈,
.书画,为了解学生对四个活动小组的喜爱情况,随机选取该校部分学生进行调查,要求每名学生从中必须选择而且只能选择一个小组,根据调查结果绘制如下两幅不完整的统计图.
请结合图中所给信息,解答下列问题:
(1)本次抽样调查共抽查了 名学生,扇形统计图中的值是 ;
(2)请补全条形统计图;
(3)喜爱“书画”的学生中有两名男生和两名女生表现特别优秀,现从这4人中随机选取两人参加比赛,请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率.
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