Question

6．如图，在△ABC中，∠ABC=120°，⊙O是△ABC的外接圆，点P是$\widehat{AmC}$上的一个动点．
（1）求∠AOC的度数；
（2）若⊙O的半径为2，设点P到直线AC的距离为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先根据圆内接四边形的性质求出∠P的度数，再由圆周角定理即可得出结论；
（2）过点O作OH⊥AC于H，根据锐角三角函数的定义得出AH及OH的长，进而得出AC的长，用x表示出△APC的面积，再根据y=S_扇形AOC-S_△AOC+S_△APC即可得出结论．

解答 解：（1）∵∠ABC=120°，四边形ABCP是圆内接四边形，
∴∠P=180°-120°=60°，
∴∠AOC=2∠APC=120°；

（2）过点O作OH⊥AC于H，
∵∠AOC=120°，OC=OA=2，
∴∠OAC=30°，
∴AH=OA•cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，OH=$\frac{1}{2}$OA=1，
∴AC=2AH=2$\sqrt{3}$，
∴S_△APC=$\frac{1}{2}$AC•x=$\sqrt{3}$x，
∴y=S_扇形AOC-S_△AOC+S_△APC=$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1+$\sqrt{3}$x=$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$x（0≤x≤3）．

点评 本题考查的是扇形面积的计算，涉及到圆内接四边形的性质、锐角三角函数的定义及扇形的面积公式等知识，难度适中．