Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与⊙M相交于A、B、C、D四点。其中AB两点的坐标分别为(-1，0)，(0，-2)，点D在轴上且AD为⊙M的直径。点E是⊙M与轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5。

(1)求点D的坐标及该抛物线的表达式；

(2)若点P是轴上的一个动点，试求出⊿PEF的周长最小时点P的坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使⊿QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

 

Answer 1

第(1)问求抛物线的解析式，我们知道的条件就是AB两点的坐标，要想求得抛物线的解析式，必须再有一个点才行。根据题意，设点M的坐标为(，0)，根据两点间的距离公式(半径相等)可以求得，则点D的坐标为(4，0)，这样就可以根据交点式来求解抛物线的解析式：

第(2)问其实是我们初中阶段经常练习的一个轴对称问题。要在轴上的找到一点P，使得⊿PEF的周长最小，我们先来看E，F两点，这是两个定点，也就是说EF的长度是不变的，那实际上这个题目就是求PE+PF的最小值，这就变成了轴对称问题中最为经典的“放羊问题”，要解决这一问题首先我们看图中有没有E或F的对称点，根据题意，显然是有E点的对称点B的，那么连接BF与轴的交点就是我们要求的点P(2，0)。

第(3)问要在抛物线的对称轴上找点Q，使得⊿QCM是等腰三角形，首先点M本身就在抛物线对称轴上，其坐标为；点C是点B关于抛物线对称轴的对称点，所以点C的坐标为(3，-2)；求Q点的坐标，根据题意可设Q点为()。⊿QCM是等腰三角形，则可能有三种情况，分别是QC=MC；QM=MC；QC=QM。根据这三种情况就能求得Q点的坐标可能是或或