Question

8．如图，⊙O的外切正方形ABCD的边长为2cm，求⊙O的内接正六边形的面积．

Answer 1

分析 过点O作OH⊥AD于点H，交EF于点G，根据正方形ABCD的边长为2cm可得出OH=1cm，根据正六边形的性质得出∠EOF的度数，由垂径定理可知∠EOG的度数及EF=2EG，根据直角三角形的性质得出EF及OG的长，进而可得出结论．

解答 解：如图，过点O作OH⊥AD于点H，交EF于点G，
∵正方形ABCD的边长为2cm，
∴OH=1cm．
∵图中是正六边形，
∴∠EOF=60°．
∵OG⊥EF，
∴∠EOG=30°，EF=2EG，
∵OE=OH=1cm，
∴OG=OE•ctan30°=1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$cm，EF=OE=1cm，
∴⊙O的内接正六边形的面积=6S_△EOF=6×$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$（cm²）．
答：⊙O的内接正六边形的面积为3$\sqrt{3}$cm²．

点评 本题考查的是正多边形和圆，熟知正方形及正六边形的性质是解答此题的关键．