Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点，抛物线的顶点为，对称轴与轴交于点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求的面积；

（3）在抛物线上是否存在一点，使它到轴的距离为4，若存在，请求出点的坐标，若不存在，则说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）；（3）存在一点P或，使它到x轴的距离为4

【解析】

（1）先根据一次函数的解析式求出A和C的坐标，再将点A和点C的坐标代入二次函数解析式即可得出答案；

（2）先求出顶点D的坐标，再过D点作DM平行于y轴交AC于M，再分别以DM为底求△ADM和△DCM的面积，相加即可得出答案；

（3）令y=4或y=-4，求出x的值即可得出答案.

解：（1）直线y＝﹣x+2中，当x = 0时，y = 2；

当y=0时，0 =﹣x+2，解得x = 4

∴点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），

把A（0，2）、C（4，0）代入

解得，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；

（2）y＝﹣x2+x+2

∴抛物线的顶点D的坐标为，

如图1，设直线AC与抛物线的对称轴交于点M

直线y＝﹣x+2中，当x = 时，y =

点M的坐标为，则DM=

∴△DAC的面积为=；

（3）当P到x轴的距离为4时，则

①当y=4时，﹣x2+x+2=4，

而，所以方程没有实数根

②当y= - 4时，﹣x2+x+2= - 4，

解得

则点P的坐标为或；

综上，存在一点P或，使它到x轴的距离为4．