Question

【题目】在△ABC中，过A作BC的平行线，交∠ACB的平分线于点D，点E是BC上一点，连接DE，交AB于点F，∠DEB+∠CAD＝180°．

（1）如图1，求证：四边形ACED是菱形；

（2）如图2，G是AD的中点，H是AC边中点，连接CG、EG、EH，若∠ACB＝90°，BC＝2AC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与△CEH全等的三角形（不含△CEH本身）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△BEF，△ADF，△EDG，△CAG

【解析】

（1）先证明四边形ACED是平行四边形，然后通过证明AD＝AC，于是可得到结论；

（2）根据已知条件得到菱形ACED是正方形，求得∠D＝∠CAG＝∠DEC＝90°，AC＝AD＝CE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．

（1）证明：∵AD//BC，

∴∠ADE＝∠DEB，

∵∠DEB+∠DEC＝180°，∠DEB+∠CAD＝180°，

∴∠DEC＝∠DAC，

∴∠ADE+∠DAC＝180°，

∴DE//AC，

∴四边形ACED是平行四边形，

∵AD//BC，

∴∠ADC＝∠BCD，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD，

∴∠ADC＝∠ACD，

∴AD＝AC，

∴四边形ACED是菱形；

（2）解：∵四边形ACED是菱形，∠ACB＝90°，

∴菱形ACED是正方形，

∴∠D＝∠CAG＝∠DEC＝90°，

AC＝AD＝CE，

∵G是AD的中点，H是AC边中点，

∴AG＝DG＝CE，

∴△EDG≌△CAG≌△ECH（SAS），

∵BC＝2AC，

∴BE＝CE＝AD，

∵AD//BE，

∴∠B＝∠DAF，

∵∠AFD＝∠BFE，

∴△BFE≌△ADF（AAS），

∴EF=DF=，

∴EF=CH，

∴△BEF≌△ECH（SAS），

∴图中与△CEH全等的三角形有△BEF，△ADF，△EDG，△CAG．